微积分发展史

如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数 学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大 的成就之一。从 17 世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、 天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了 “变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。整个 17 世纪有数十位科学 家为微积分的创立做了开创性的研究。 1 微积分的萌芽 微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长 的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷竭法，这是微积分的先驱。积分 概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家要基米德在《抛物线 求积法》中用究竭法求出抛物线弓形的面积，人没有用极限，是“有限”开工的 穷竭法。但阿基米德的贡献真正成为积分学的萌芽。 2 解析几何为微积分的创立奠定了基础 由于 16 世纪以后欧洲封建社会日趋没落，取而代之的是资本主义的兴 起，为科学技术的发展开创了美好前景。到了 17 世纪，有许多著名的数学家、 天文学家、物理学家都为解决上述问题做了大量的研究工作。 微分是联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题而产 生的。微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作起源于 1629 年费尔玛陈述的 概念，他给同了如何确定极大值和极小值的方法。 其后笛卡尔 1637 年发表了《科学中的正确运用理性和追求真理的方法 论》（简称《方法论》），从而确立了解析几何，表明了几何问题不仅可以归 结成为代数形式，而且可以通过代数变换来发现几何性质，证明几何性质。他 不仅用坐标表示点的位置，而且把点的坐标运用到曲线上。他认为点移动成线， 所以方程不仅可表示已知数与未知数之间的关系，表示变量与变量之间的关系， 还可以表示曲线，于是方程与曲线之间建立起对应关系。此外，笛卡尔打破了 表示体积面积及长度的量之间不可相加减的束缚。于是几何图形各种量之间可 以化为代数量之间的关系，使得几何与代数在数量上统一了起来。笛卡尔就这 样把相互对立着的“数”与“形”统一起来，从而实现了数学史的一次飞跃，而且更 重要的是它为微积分的成熟提供了必要的条件，从而开拓了变量数学的广阔空 间。 而英国剑桥大学三一学院的教授巴罗又给出了求切线的方法，进一步 推动了微分学概念的产生。前人工作终于使牛顿和莱布尼茨在 17 世纪下半叶各 自独立创立了微积分。 3 牛顿建立微积分 牛顿（IsaacNewton1643-1727）在老师巴罗的指导下，在钻研笛卡尔 的解析几何的基础上，找到了新的出路。可以把任意时刻的速度看是在微小的 时间范围里的速度的平均值，这就是一个微小的路程和时间间隔的比值，当这 个微小的时间间隔缩小到无穷小的时候，就是这一点的准确值。这就是微分的 概念。 微分相当于求时间和路程关系得在某点的切线斜率。一个变速的运动 物体在一定时间范围里走过的路程，可以看作是在微小时间间隔里所走路程的 和，这就是积分的概念。求积分相当于求时间和速度关系的曲线下面的面积。 牛顿从这些基本概念出发，建立了微积分。 微积分的创立是牛顿最卓越的数学成就。牛顿为解决运动问题，才创 立这种和物理概念直接联系的数学理论的，牛顿称之为“流数术”。 4 莱布尼茨使微积分更加简洁和准确 而德国数学家莱布尼茨（G.W.Leibniz1646-1716）则是从几何方面独 立发现了微积分，在牛顿和莱布尼茨之前至少有数十位数学家研究过，他们为 微积分的诞生做了开创性贡献。但是他们这些工作是零碎的，不连贯的，缺乏 统一性。莱布尼茨创立微积分的途径与方法与牛顿是不同的。莱布尼茨是经过 研究曲线的切线和曲线包围的面积，运用分析学方法引进微积分概念、得出运 算法则的。牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣较莱布尼茨高一 等，但莱布尼茨的表达形式采用数学符号却又远远优于牛顿一筹，既简洁又准 确地揭示出微积分的实质，强有力地促进了高等数学的发展。 莱布尼茨创造的微积分符号，正像印度――阿拉伯数码促进了算术与 代数发展一样，促进了微积分学的发展。莱布尼茨是数学史上最杰出的符号创 造者之一。 5 牛顿和莱布尼茨的争论 牛顿和莱布尼茨的特殊功绩在于，他们站在更高的角度，分析和综合 了前人的工作，将前人解决各种具体问题的特殊技巧，统一为两类普通的算 法――微分与积分，并发现了微分和积分互为逆运算，建立了所谓的微积分基 本定理（现今称为牛顿?DD 莱布尼茨公式），从而完成了微积分发明中最关键的 一步，并为其深入发展和广泛应用铺平了道路。由于受当时历史条件的限制， 牛顿和莱布尼茨建立的微积分的理论基础还不十分牢靠，有些概念比较模糊， 因此引发了长期关于微积分的逻辑基础的争论和探讨。经过 18、19 世纪一大批 数学家的努力，特别是在法国数学家柯西首先成功地建立了极限理论之后，以 极限的观点定义了微积分的基本概念，并简洁而严格地证明了微积分基本定理 即牛顿?DD 莱布尼茨公式，才给微积分建立了一个基本严格的完整体系。 从始创微积分的时间说牛顿比莱布尼茨大约早 10 年，但从正式公开发 表的时间说牛顿却比莱布尼茨要晚。牛顿系统论述“流数术”的重要著作《流数 术和无穷极数》是 1671 年写成的，但因 1676 年伦敦大火殃及印刷厂，致使该 书 1736 年才发表，这比莱布尼茨的论文要晚半个世纪。在牛顿和莱布尼茨之间， 为争论谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，这种争吵在 各自的学生、支持者和数学家中持续了相当长的一段时间，造成了欧洲大陆的 数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族 偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百 年。 虽然如此，科学家对待科学谨慎和刻苦的精神还是值得我们学习的。 应该说，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，它必定是经过多少人的努力 后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分 也是这样，是牛顿和莱布尼茨在前人的基础上各自独立的建立起来的。 6 中国古代数学对微积分创立的贡献 微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积 分与微分的互逆关系。最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作， 欧洲的大批数学家一直追朔到古希腊的阿基米德都做出了各自的贡献。对于这 方面的工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在古代中国早有萌芽，甚 至是古希腊数学不能比拟的。公元前 7 世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限 思想；公元前 4 世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷 大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。刘徽公元 263 年首创的割圆术求 圆面积和方锥体积，求得圆周率约等于 3.1416，他的极限思想和无穷小方法， 是世界古代极限思想的深刻体现。 微积分思想虽然可追朔古希腊，但它的概念和法则却是 16 世纪下半叶， 开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的。而 这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元 5 世纪祖 恒求球体积的方法中都可找到。北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创了“隙积 术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究。南宋大数学 家秦九韶于 1274 年撰写了划时代巨著《数书九章》十八卷，创举世闻名的“大 衍求一术”增乘开方法解任意次数字（高次）方程近似解，比西方早 500 多年。 特别是 13 世纪 40 年代到 14 世纪初，在主要领域都达到了中国古代数学的高峰， 出现了现通称贾宪三角形的“开方作法本源图”和增乘开方法、“正负开方术”、 “大衍求一术”、“大衍总数术”（一次同余式组解法）、“垛积术”（高阶等差级数 求和）、“招差术”（高次差内差法）、“天元术”（数字高次方程一般解法）、 “四元术”（四元高次方程组解法）、勾股数学、弧矢割圆术、组合数学、计算 技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果，中国古代数学 有了微积分前两阶段的出色工作，其中许多都是微积分得以创立的关键。中国 已具备了 17 世纪发明微积分前夕的全部内在条件，已经接近了微积分的大门。 可惜中国元朝以后，八股取士制造成了学术上的大倒退，封建统治的文化专制 和盲目排外致使包括数学在内的科学日渐衰落，在微积分创立的最关键一步落 伍了。 7 微积分的现实应用 客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。 因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。 微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、 生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中有越 来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。