漫谈微积分

作者：刘芳，徐丽 一、微积分的特点 1.可以使状态与过程统一。 微积分是十七世纪数学所达到的最高成就。微积分出现以后，逐渐显 示出它非凡的威力，过去许多数学家束手无策的问题，至此迎刃而解。恩格斯 指出：“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅表明状态，并且也表明 过程：运动。”然而，在十九世纪以前，微积分理论历史发展始终包含着矛盾： 一方面纯粹分析及其应用领域中呈现出一个接一个的伟大发现与成就，另一方 面则是基础理论的含糊性。事实上，无论是牛顿还是莱布尼兹，他们对微积分 所作的论证都是不十分严谨的和清楚的。在欧洲大陆方面，莱布尼兹的含糊也 招致了尼文，荷兰哲学家的反对。荷兰的物理学家和几何学家纽文也就一系列 问题公开提出质问：无限小量与零怎样区别？无限个无限小量之和为什么能够 是有限量？在推理过程中为什么能舍弃无限小量？包括一大批数学家也群起而 攻之。尽管他们承认微积分的效用，欣赏微积分的美学价值，但却不能容忍这 种方法的理论本身如此含糊甚至令人感到荒谬。法国数学家罗尔微积分为：“巧 妙的谬论的汇集。”法国思想家伏尔泰则说微积分是一种“精确的计算和度量其 存在无从想象的东西的艺术”。贝克莱和尼文太对微积分的攻击纯粹是消极的， 他们虽然没有给微积分以严格的基础，但他们的论点都有一定道理，在一定程 度上它激励了微积分进一步的建设性工作。例如突变函数论、非线性泛函分析 等学科的建立。因此，人们追求数学美，以达到精神上的愉悦，而这一点正是 通过数学家经由数学的“神秘美”、“奇异美”和“朦胧美”，而最终达到完备的“统一 美”和“和谐美”。 2.可以使分析与几何统一。 微积分的本原问题是指它同现实世界的关系问题，即它是产生于存在 还是产生于纯思维的问题。唯物主义与唯心主义有着根本不同的看法。唯心主 义认为纯数学产生于纯思维。全部纯数学可以先验地，不需利用外部世界给我 们提供的经验，而从头脑中构思出来。杜林、康德、贝克莱等唯心主义者就是 这种观点的代表。牛顿、莱布尼茨是微积分的创立者。他们分别在研究质点运 动和曲线的性质中，不自觉地把客观世界中的运动问题引进了数学，各自独立 地创立了微积分。这个功劳是应该肯定的。但是，他们没有很好地注意到微积 分同现实世界的亲缘关系。其运算出发点是先验的。所以，马克思把牛、莱的 微积分称为“神秘的微分学”唯物主义认为，微积分同所有的科学一样，它起源 经验，然后又脱离外部世界，具有高度抽象性和相对独立性的一门崭新的科学。 恩格斯指出：“数学是从人的需要中产生的。”微积分是从生产斗争和科学实验 的需要中产生的。生产实践对微积分的创立起着决定性作用。从十五世纪开始， 资本主义在西欧封建社会内部逐渐形成。到十七世纪，资本主义生产方式有了 巨大发展。随着生产发展，自然科学技术也雨后春笋般地发展起来了。它们跑 出来向数学敲门，提出了大量研究新课题。微积分的创立就是为了处理十六、 十七世纪在生产实践和科学实验中所遇到的一系列新问题。 3.可以是极限理论成熟。 中国《庄子?天下篇》中“一尺之棰”、Zeno 悖论、Endoxus 的“穷竭 法”、刘微的“割圆术”等和极限思想有直接关系，但这些都只能说是对极限有些 模糊认识而已。十八世纪，许多数学家为维护微积分的应用价值和美学价值， 在回击来自数学界内外的攻击同时，竭尽所能使微积分在理论上严密化、逻辑 化，在形式上更趋完美。在十八世纪前期，许多数学家，尤其是英国数学家总 是企图使微积分与欧几里得几何结合起来，他们试图借助于几何学中论证之严 谨体系去完善微积分。但这一努力是失败的，打破这一僵局的大数学家欧拉， 他以代数方式研究微积分，力图用形式演算方式代替累赘的几何语言，使微积 分建立在算术和代数基础上。达朗贝尔把牛顿的“最终比”发展为一种极限概念， 并试图用极限加以定义和说明。他认为应以极限理论作为微积分的理论基础， 这一思想在数学界产生了极其深远的影响。直到 1821 年以后，柯西出版了 《分析教程》、《无穷小计算讲义》、《无穷小计算在几何中应用》这几部具 有划时代意义的名著之后，微积分一系列基础概念及定理正式地确定下来。自 此以后，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和概念也建立较坚实的理论基 础之上――极限理论。我们现在所谓的极限的柯西定义经过维尔斯特拉斯的加 工才完成的。柯西把整个极限过程用不等式来刻画，使无穷的运算化为一系列 不等式的推导。维尔斯特拉斯将柯西的不等式进行了整理，形成了微积分的严 谨之美。 二、微积分教学的方法 1.不断加强变量概念的教学，树立以变量为思维对象的数学观。 由于学生在长期的数学学习中接触的均为常量，即使在学习阶段系统 学习函数、自变量，并研究了一些基本函数的性质和图像，但其思维和认识方 式仍然比较习惯于常量，常量数学在头脑中已根深蒂固。所以在组织教学时， 需加强变量概念的教学，让学生逐步熟悉和适应变量，并能思考变化过程。当 然，这就需要我们在教学中要特别注意将变量及其变化讲解清楚。 2.要以直观描述为主，鼓励“合情推理”和“合情猜想”。 这也是我认为的微积分在中学教学中较为合理的定位。对此部分的教 学应当以直观性的描述为主，以掌握方法、计算为主，对理论上的严谨性不宜 要求过高，更无须严格的证明。涉及的一些概念和结论，既要使学生正确地理 解和掌握，又要适可而止。例如，极限中最基本的一个结论，学生通过作图很 容易从孤立点的变化趋势得到此结论。 3.防止微积分教学退化成仅让学生记住一些公式和结论。 考虑到学生的实际水平，不需要在理论上过分要求严格。但无论是用 直观图形引入还是给予一定的推理，都应让学生主动地参与，引导学生观察和 发现图形的“变化趋势”或亲自动手进行推导。这样才有利于培养学生的“变量思 维”，感受微积分的内涵和与初等数学的差异。否则，如果为了“体贴”学生或纯 粹的“应试心理”，微积分教学变成了让学生在不理解的状况下死记一些公式和 结论，那么微积分教学就失去了意义和价值，学生的能力也不会得到提高。 微积分有着鲜明的本原问题，是十分深奥的，如何能精准地理解微积 分，并能把他们应用到教学中，教师应该不断学习，不断深化地去理解、领会。 