2020小学一元二次方程的根与系数的关系

中考网 www.zhongkao.com 元二次方程的根与系数的关系 [内容] 一元二次方程的根与系数的关系 (韦达定理和它的逆定理) 教学目标 (一)通过观察、归纳，猜想根与系数的关系，并证明此关系成立，使学生理解其理论 根 据： (二)使学生会运用根与系数关系解题. 教学重点和难点 重点：根与系数关系的推导. 难点：根与系数关系的运用. 教学过程设计 (一)引言 我们知道，方程的根的值是由一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的各项系数 a,b,c 决 定的.我们还知道根的性质(有、无实数根及实数根的个数)由 b2-4ac 决定.今天我们来 研究方 程的两根之和及两根之积与 a,b,c 有什么关系?先填表，归纳出规律，然后给予严密的 证明. （二）新课 从表格中找出两根之和 x1+x2 与两根之积 x1·x2 和 a,b,c 的关系： 1.先从前面三个方程(二次项系数是 1)观察 x1+x2,x1x2 的值与一次项系数及常数项的 关 系.(两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项) 2.再看后面三个方程(二次项系数不是 1)，观察 x1+x2,x1x2 的值与系数的关系.(在把 方 程的二次项系数化为 1 后，仍符合上述规律) 3. 猜 想 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的 x1+x2,x1x2 与 a,b,c 的 关 系 ( 引 导 学 生 化 为 x2+ b c x  0 a a 中考网 www.zhongkao.com 中考网 www.zhongkao.com b c 后，猜想)为 x1+x2=- a ，x1x2= a . 4.怎样证明上面的结论.启发学生：求根公式是具有一般性的，我们用求根公式来证明 就可以了. 证明：设 ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根为 x1,x2, 5.读课文 P31 第 3 行第 4 行的黑体字，要求把这段黑体字(实际上就是定理)读出来， 以强化印象. 6.为了使这个定理易于记忆，我们把二次项系数是 1 的方程叫做“简化的一元二次方程” . 读课本 P31 第 10 至 11 行的黑体字. 如果方程 x2+px+q=0 的两根是 x1,x2,那么 x1+x2=-p,x1x2=q. 教师必须要求学生能用语言表达上述定理. “对于简化的二次方程，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项”.( 这个定理又叫做韦达定理) 7.再要求读课本 P31 的倒数第 3 行到倒第 1 行(也要求学生用语言表达此定理). “对于简化的二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积”. (这是韦达定理的逆定理) 例题讲解 例 1 已知方程 5x2+kx-6=0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值. 解：把方程两边都除以 5，化为最简二次方程 例 2 利用根与系数的关系，求一元二次方程 2x2+3x-1=0 两根的(1)平方和；(2)倒数 和. 分析：根与系数关系告诉我们，不必解出方程，可以直接用方程的系数来表示两根之 和 与两根之积.如查我们所求的式子可以转化成用两根之和及两根之积表示，也就可以直接把 方程的系数代入，算出结果了. 中考网 www.zhongkao.com 中考网 www.zhongkao.com (2) 1 x1+1 x2=x1+x2 x1x2=(-3 2)÷(-1 2)=3. 例 3 求一个一元二次方程，使它的两根分别是 分析：先让学生用语言表达 P31 倒数第 3 行～第 1 行的黑体字； “对于简化的一元二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之 积”. 例 4 已知两数的和等于 8，积等于 9，求：这两个数. 分析：我们可以用多种方法来解决这个问题. 解法 1：设两个数中的一个为 x,因为两数之和为 8，所以另一个数为 8-x. 再根据“两数之积为 9”，可列出方程 x(8-x)=9. 解法 2：设两个数是 x,y,可列出方程组 这类方程组的解法，我们将在课本 P61 学到. 解法 3：因为两根和与两根积都已知，我们可以直接造出一个是简化二次方程 .x28x+9=0.这就是方法 1 得到的方程. (三)课堂练习 1.已知方程 x2-12x+m=0 的一个根是另一个根的 2 倍，则 m= . 2.已知关于 x 的一元二次方程(k2-1)x2-(k+1)=0 的两根互为倒数，则 k 的取值是( ). 3.已知方程 x2+3x+k=0 的两根之差为 5，k= 答案或提示 中考网 www.zhongkao.com . 中考网 www.zhongkao.com (四)小结 1.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式. 2.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中 代 数里，当且仅当 b2-4ac≥0 时，才能应用根与系关系. 3.已知方程的两根，求作一元二次方程时，要注意根与系数的正、负号. (五)作业 1.设方程 3x2-5x+q=0 的两根为 x1 和 x2，且 6x1+x2=0,那么 q 的值等于( ). 2.若关于 x 的方程 3(x-1)(x-2m)=x(m-12)的两根之积等于两根之积，则此方程的两 根为( ). 3.已知关于 x 的二次方程 x2+2px+2q=0 有实数根，其中 p,q 都是奇数，那么它的 根( ). (A) 一定都是奇数 (B))一定都是偶数 (C) ) 有可能是真分数 (D) ) 有可能是无理数 4.(1)如果-5 是方程 5x2+bx-10=0 的一个根，求方程的另一个根及 b 的值. (2)如果 是方程 x2+4x+c=0 的一个根，求方程的另一个根及 c 的值. 5.设 x1,x2 是方程 2x2+4x-3=0 的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值： 6.求一个元二次方程，使它的两个根分别为 7.已知两个数的和等于-6，积等于 2，求这两个数. 作业的答案或提示 中考网 www.zhongkao.com 中考网 www.zhongkao.com . 课堂教学设计说明 1.观察、归纳、证明是研究事物的科学方法.此节课在研究方程的根与系数关系时，先 从具体例子观察、归纳其规律，并且先从二次项系数是 1 的方程入手，然后提出二次项系 数 不是 1 的，由此，猜想一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根与系数关系，最后 对此猜想的正确性作出证明.这个全过程对培养学生正确的思考方法很有价值. 2.教学设计中补充了“简化的一元二次方程”的定义，对根与系数关系的叙述可以方便 些.教学设计中还把根与系数关系作为两个互逆的定理提出，可加深理解两个性质的不同功 能.韦达定理的原定理的功能是：若已知一元二次方程，则可写出些方程的两根之和的值及 两极之积的值.而其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的两个根，可写出这个方程. 中考网 www.zhongkao.com