2020小学一元二次方程根的判别式的意义及应用

中考网 www.zhongkao.com 元二次方程根的判别式的意义及应用 [内容] 一元二次方程根的判别式的意义及应用 教学目标 (一)使学生理解一元二次方程的根的判别式，知道所判别的对象是什么； (二)使学生会运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况. 教学重点和难点 重点：一元二次方程的根的判别式的运用. 难点：对一元二次方程的根的判别式的结论的理解. 教学过程设计 (一)复习 1.请同学们回想一下，我们用求根公式法解一元二次方程时，在把系数代入求根公式前 ，必须写出哪两步?为什么要先写这两步? 例 用求根公式法解方程(教师把这个过程写在黑板上) 2x2+10x-7=0. 解：因为 a=2,b=10,c=-7, ① 2 2 b -4ac=10 -4×2×(-7)=156＞0, ② x  10  156  5  39 5 39 5  x1   , x 2   2 2 2 2 2 2 ，所以 39 2 2.为什么在把系数代入求根公式前，要先写①式、②式这两步? 答：因为方程的根是由各项系数确定的，所以必须先确认一下，a,b,c 的取值，这是 要先写①式的原因； 因为一元二次方程不一定有(实数)解，所以有必要先了解一下代数式 b2-4ac 的值， 如果 b2-4ac 的值是负的，则方程无(实数)解，也就没有必要继续往下计算了，这是要先写 ② 式的原因. (二)新课 1.从上面的解释可见，在一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)中，代数式 b2-4ac 起着重 要的作用，我们把它叫做根的判别式，通常用记号表示，即表示，即表示，即 2 表示，即Δ=b2-4ac(注意不是表示，即Δ= b  4ac 2.教师紧接着提问学生：根的判别式是判别根的什么? 3.把课本 P27 的黑体字(实际上就是定理)用三个定理来表示(我们通常把记号表示，即 A  B 表 示为 A 是命题的条件，B 是命题的结论)于是有： 定理 1 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ0  方程有两个不等实数根. 定理 2 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0  方程有两个相等实数根. 定理 3 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＜0  方程没有实数根. 注意：根据课本 P27 第 8 行的“反过来也成立”，我们还得到三个定理，那就是 定理 4 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根  Δ＞0. 定理 5 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根  Δ＝0. 定理 6 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根  Δ＜0. 显然，定理 1 与定理 4，互为逆定理，定理 2 与定理 5，互为逆定理.定理 3 与定理 6， 中考网 www.zhongkao.com 中考网 www.zhongkao.com 互逆定理. 定理 1，2，3 的作用是用已知方程的系数，来判断根的情况.(课本 P27 的例(1)， (2)，(3)，用这组定理来解) 定理 4，5，6 的作用是已知方程根的情况，来确系数之间的关系，进而求出系数中某 些字母的值.(课本 P29，习题 12.3，B 组的 1，用这组定理来解) 运用根的判别式解题举例 例 1 不解方程，判别下列方程根的情况. (1) 2x2+3x-4=0; (2) 16y2+9=24y; (3)5(x2+1)-7x=0. 解：(1)因为 Δ=32-4×2(-4)=9+32＞0；所以原方程有两个不相等的实数根. (注意：①老师的板书及要求学生作业的写法都按照课本的格式 .② 只要知道 Δ＞0, Δ=0 , Δ＜0 就可以了，所以课本没有算出 9+32=41＝ (2) 原方程变形为 16y2-24y+9=0,因为 Δ=(-24) 2-4×16×9=576-576=0，所以原 方程有 两个相等实数根. (3) 原方程变形为 5x2-7x+5=0,因为 Δ=(-7) 2-4×5×5=49-100＜0,所以原方程没 有实数根. 例 2 已知方程 2x2+(k-9)x+(k2+3k+4)=0 有两个相等的实数根，求 k 值，并求出方 程的. 解：因为方程有两个相等实数根，所以 Δ=0,即(k-9) 2-8(k2+3k+4)=0,k2-18k+818k2-2 4k-32k=0，化简，得 k2+6k-7=0,(k+7)(k-7)=0，所以 k1=-7,k=1. 当 k=-7 时，原方程为 2x2-16x+32=0,得 x1=x2=4; 当 k=1 时，原方程为 2x2-8x+8=0,得 x3=x4=2. (问：本题的算理是什么?答：是定理 5) 例 3 若关于 x 的方程 x2+2(a+1)x+(a2+4a-5)=0 有实数根，试求正整数 a 的值. 分析：要注意两个条件：①有实数根，② a 是正整数. 解：由方程有实根 Δ≥0，得[2(a+1)] 2-4×1×(a2+4a-5)≥0,不等式两边同除以正数 4，不等号表示，即的方向不变，得 a2+2a+1-a2-4a+5≥0,,-2a+6≥0,所以 a≤3. 因为 a 是正整数，所以 a=1,2,3. (注意：本题的算理是根据定理 4，5，而不是定理 1，2) (三)课堂练习 1.关于 x 一元二次方程 kx2-2x-1=0 有两个不相等实数根，则 k 的取值范围是_______. 2.当 1 4a2＜b,关于 x 的方程 x2-ax+b=0 的实情况是_______ (答案或提示：1.k＞-1 且 k≠0; 2.无实数根) (四)小结 1.根的判别式是用来判断一元二次方程的根的情况：方程有没有实数根；如果有实根， 是两个相等实根，还是不相等实根. 2.运用根的判别式解题时，必须先把方程化为一元二次方程的一般形式，并认准 a,b,c 的值. 3.要注意课本 P27 第 8 行的“反过来也成立”.在解题时，应明确何时用定理 1，2，3， 何时，用定理 4，5，6. (五)作业 中考网 www.zhongkao.com 中考网 www.zhongkao.com 1.读课文 P26～P27. 2.下列方程中，有两个相等实数根的方程是( ). 3.若方程(k2-1)x2-6(3k-1)+72=0 有两个不同的正整数根，则整数 k 的值是( ). 4.若 a,b,c 互不相等，则方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0( ). (A) 有两个相等的实数根 (B) 有两个不相等的实数根 (C) 没有实数根 (D) ) 根的情况不确定 5.不解方程，判别下列方程的根的情况： 6.已知关于 x 的方程 x2+(2m+1)x+(m-2)2=0.m 取什么值时， (1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3) 方程没有实数根? 7.k 取什么值时，方程 4x2-(k+2)x+k-1=0 有两个相等的实数根?并求出这时方程的 根. 8.求证：关于 x 的方程 x2+(2k+1)x+k-1=0 有两个不相等的实数根. 作业的答案或提示 2.(B). 3.(C). 因为 Δ=36(3k-1) 2-288(k2-1)=36(k-3),当 k≠3 时，要使 . 同时为正整数，只有 k=2. 4.(C) 因 为 Δ=4(a+b+c)2-12(a2+b2+c2)=4(-2a2-2b2-2c2+2ab+2ac+2bc)=2[(a-b) 2+(b -c) 2+(c-a) 2]＜0. 5.(1) Δ=42-4×2×35＜0,原方以有实数根； (2) 4m2-4m+1=0, Δ=(-4m) 2-16m2=0,原方程有两个相等的实数根； (3) 0.4x2-3x-10-=0, Δ=9-4×0.4×(-10)＞0,原方程有两个不相等的实数根； (4) 4y2-2.4y+0.36=0, Δ=(-2.4) 2-4×4×0.36=0,原方程有两个相等的实数根； (5) x2-2 3 x-2 2 2=0, Δ=(-2 3 )2-4×(-2 2 )＞0,原方程有两个不相等的实数 根； (6) 5 5 t2-10t+ 5 =0, Δ=100-4×5 5 × 5 =0,原方程有两个相等的实数根； 6.表示，即=(2m+1)2-4(m-2)2=5(4m-3) 3 (1) 当 4m-3＞0,即 m＞ 4 时，原方程有两个不相等的实数根； 3 3 (2) 当 m= 4 时，原方程有两个相等的实数根；(3)当 m＜ 4 时，原方程没有实数根. 7.令 Δ=(k+2)2-4×4(k-1)=0,k2-12k+20=0,k1=2,k2=10. 中考网 www.zhongkao.com 中考网 www.zhongkao.com 1 当 k=2 时，原方程 4x2-4x+1=0,x1=x2= 2 ; 3 当 k=10 时，原方程 4x2-12x+9=0,x1=x2= 2 . 8.因为 Δ=(2k+1)2-4(k-1)=4k2+4k+1-4k+4=4k2+5＞0,所以原方程有两个不相 等的实数根. 课堂教学设计说明 1.为了很自然地引入新课的课题，在本节课开始请学生回忆上节课用求根公式法解一 元二次方程的书写步骤，特别要问学生为什么在代入求根公式之前要先计算一下 b2-4ac 的值 .由此引入 b2-4ac 的名称的作用. 2.在新课中，提出一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)中的 b2-4ac 叫做根的判别式后， 2 提醒学生要注意两点：(1)根的判别不是 b  4ac b2-4ac;(2)判别根的什么性质. 3.教学设计中，把根的判别式性质用三个原命题与三个相应的逆命题形式出现，把条 件 与结论分得明确，使学生易于接受及记忆. 4.上述命题与逆命题的功能分为两类，一类是已知方程的系数，要判别方程根的情况， 为此教学设计中，安排了例 1；另一类是已知方程根的情况，要求方程的系数中所含字母 的 值或求字母间的关系式，为些教学设计中，安排了例 2，例 3.为了强化这两类问题的功能. 在 题目安排中，并提问了解题所依据的算理是什么. 中考网 www.zhongkao.com