2020小学一元二次方程应用题(一)

中考网 www.zhongkao.com 元二次方程应用题(一) [内容] 教学目标 (一)会列一元二次方程解应用题； (二)进一步掌握解应用题的步骤和关键； (三)通过一题多解使学生体会列方程的实质，培养灵活处理问题的能力. 教学重点和难点 重点：列方程解应用题. 难点：会用含未知数的代数式表示题目里的中间量(简称关系式)；会根据所设的不同 意 义的未知数，列出相应的方程. 教学过程设计 (一)复习 1.写出本节课的课题：一元二次方程的应用. 2.请同学们回忆并回答解一元一次方程应用题的一般步骤： 第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数； 第二步：找出能够表示应用题全部含义的相等关系； 第三步：根据这些相等关系列出需要的代数式(简称关系式)，从而列出方程； 第四步：解这个方程，求出未知数的值； 第五步：在检查求得的答数是否符合应用题的实际意义后，写出答案(包括单位名称.) 3.解一元二次方程的应用题的步骤与解一元一次方程应用题的步骤一样. 我们先来解一些具体的题目，然后总结一些规律或应注意事项. (二)新课 例 1 (课本 P41)两个连续奇数的积是 323，求这两个数. 第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数. 1.什么是奇数?不能被 2 整除的整数叫做奇数，例如±1，±3，±5…，一般地，设 n 为整 数，则 2n-1(或 2n+1)表示一个奇数. 2.-1,-3,-5…，1,3,5…是连续奇数，它们之间相差 2(或-2). 2n-1 与 2n+1 是连续奇数，2n+1 与 2n+3 也是连续奇数(其中 n 是任意整数). 如果规定了 x 是奇数，那么 x-2 与 x 是连续奇数，x+2 与 x 也是连续奇数. 3.本题里，已知数是 323，未知数是两个连续奇数. 第二步：本题里，表示应用题全部含义的相等关系是 (1) 两个连续奇数的乘积=323； (2) 两个连续奇数之差=±2. 解法 1：用相等关系(2)写出关系式，用相等关系(1)列方程. 设较小的一个奇数为 x，那么较大的一个奇数为 x+2,根据相等关系：两个连续奇数的 乘 积=323，列出方程 x(x+2)=323. 整理，得 x2+2x-232=0, 解方程，得 x1=17,x2=-19. 当 x=17 时，x+2=19.当 x=-19 时，x+2=-17. 中考网 www.zhongkao.com 中考网 www.zhongkao.com 检验：17×19=323;(-19)×(-17)=323.都符合题意. 答：这两个连续数是 17，19 或-19,-17. (注：检验这一步，课本上例题没有要求写出，我们在解题时，作业上虽可不写出，但 不要忽略这一步) 解法 2：用相等关系(1)写出关系式，用相等关系(2)列方程. 323 设较大的一个奇数为 x，则较小的一个奇数为 x , 323 根据相等关系：两个连续奇数的差=±2，列出方程 x- x =2. 用 x 乘方程两边，得 x2-2x-323=0. 解这个方程，得 x1=19,x2=-17. 323 323 323 当 x=19 时， x = 19 =17.当 x=-17 时， x =-19. 经过检验，这两组答数都符合题意. 答：这两个连续奇数为 19，17，或-17,-19. 解法 3： 设 x 是任意整数，则两个连续奇数为 2x-1,2x+1.根据相等关系：两个连续 奇数 的 乘 积 =323 ， 列 出 方 程 (2x-1)(2x+1)=323. 整 理 ， 得 4x2-1=323,x2=81. 解 得 x1=9,x2=-9;当 x1=9 时，2x-1=17,2x+1=19;当 x2=-9 时，2x-1=-19,2x+1=-17. 经过检验，这两组答数都符合题意. 答：这两个连续奇数是 19，17，或-19,-17. 现在从上面的三种解法来分析列方程，解应用题要注意的地方. 第一步：弄清题意.本题需要先弄清什么奇数，什么是连续奇数，用 x 表示哪个未知数? 解法 1 与解法 2 是用 x 直接表示其中一个奇数，而解法 3 所设的 x 表示的是任意整数，然 后，间接地用 2x-1,2x+1 表示连续奇数； 第二步：描述相等在系.因为方程是含有未知数的等式，所以必须有相等关系 .本题中 的 “两个连续奇数的乘积等于 323”是相等关系，可是还有一个比较隐蔽的相等关系是“两个 连续奇数之差等于 2 或-2”； 第三步：根据相等关系，写出需要的代数式(关系式)，从而列出方程. 这一步分两方面讲，“同需要的代数式”(关系式)是指用含未知数 x 的代数式来表示题 目里除了用字母 x 表示的那个量以外的所有其他的量，像解法 1 里，用 x+2 表示较大的那 323 个奇数；像解法 2 里，用 x 表示较小的那个奇数；像解法 3 里，用 2x-1,2x+1 表示两 个连续奇数；写出这些代数式，是解应用题的关键.打个比哈，方程是一辆完整的自行车， 那么，这年代数式就是一些小零件，把这些零件准备齐全了，组装起来就是一辆自行车了. 列方程，就是根据题目里的相等关系，把含未知数的代数式(关系式)，恰当地构成一 个 等式，就是含未知数的等式，就是方程. 不同的相等关系，就列出不同的方程，像解法 1 与解法 2 是用不同的相等关系列出的 中考网 www.zhongkao.com 中考网 www.zhongkao.com 不同的方程，它们的解题过程可能有简有繁.但得到的答案应该是一样的. 例 2 某林场修建一条断面为等腰梯形的渠道，断面面积为 1.6 米 2，上口宽比渠深多 2 米，渠底宽比渠深多 0.4 米，(图 12-4).求渠道的上口宽与渠底宽各是多少? (这是课本 P43，习题 12.6，A 组第 7 题的(1)问). 分析：题目的已知数为 1.6，2，0.4.有三个未知量： 上口宽、渠底宽及渠深，有三个相等关系： 1.断面面积 1.6 米 2； 2.上口宽=渠深+2 米； 3.渠底宽=渠深+0.4 米. 本题设渠深为 x 米较方便，那么上口宽与渠底宽便是题目里除了渠深 以外的其他量，它 们可用含 x 的代数式表示. 解：设渠深为 x 米，则上口宽为(x+2)米，渠底宽为(x+0.4)米.(因 为在写代数(关系式) 时已用了第 2、第 3 两个相等关系，所以只能用剩下的一个相等关系来建 立方程了)，列方程 1 1 ，断面面积= 2 (上底+下底)×高，即 1.6= 2 [(x+2)+(x+0.4)]x,x, 化简整理，得 x2+1.2x-1.6=0. 解这个方程，得 x1=0.8, x2=-2. 因为渠深不可能是负数，应舍去 x1=-2.取 x=0.8. 检验：上口宽=2.8 米，渠底宽 1.2 米，渠深 0.8 米. 1 1 2 (2.8+1.2)×0.8= 2 ×4×0.8=1.6(米 2)，符合题意. 答：渠道上口宽 2.8 米，渠底宽 1.2 米. (三)课堂练习 1.浓度为 m%的盐酸 n 千克，含纯盐酸 ____千克；若再加 p 千克水，此时浓度为 ___ _. 2.制造一种产品，原来每件的成本是 120 元，由于连续两次降低成本，现在成本为 78 元.求平均每次降低成本百分之几? mn%; 答案或提示： mn % n p 2.设每次降低成本的百分率为 x，则 120(1-x)2=78,1-x≈±0.81，取 x=0.19%. (四)小结 列方程解应用题的步骤是： 1.仔细了解题意及有关的事物的概念. 2.找题中给出的等量关系和隐含的等量关系. 3.选设未知数，并用含这个未知数的代数式表示其他未知量(这种代数式叫做关系式). 4.利用未曾用过的等量关系列方程. 5.解方程. 中考网 www.zhongkao.com 中考网 www.zhongkao.com 6.检验得数是否符合题意，然后做答. (五)作业 1.将一升水加入到硫酸和水的混合液中，得到新的混合液含硫酸 20%，再将一升硫酸 加 1 入到新的混合液中，如果使混合液含硫酸 33 3 %，在原混合液中含硫酸的百分比是( ). (A) 22% (B) 24% (C) 25% 1 (D) 33 3 % 2.有一个两位数，如果用数字之和去除，则商 8 余 7，如果用数字对调后的两位数去 除原来的两位数，则商 4 余 3，则这个两位数是 _________. 3.要做一个容积是 750cm3，高是 6cm，底面的长比宽多 5cm 的长方形匣子，底面 的长及宽应该各是多少?(精确到 0.1cm) 4.某农场的粮食产量在两年内从 3000 吨增加到 3630 吨，平均每年增产的百分率是 多少? 5.某人承包在一定时间内生产某种产品 960 件，开始工作后每个月比原计划多生产 40 件，结果提前 4 个月完成，若每月生产数量都相同，求实际上工作了多少个月? 6.甲、乙两城之间有公路相通.从甲城到乙城，A 车需要 12 时，B 车需 15 时，若行驶 方向不影响速度，A 车先从甲城开出 3 时，B 车再从乙城开出，问 B 车开出后几时两车相 遇. 作业的答案或提示 1.设原来混合液体积为 y 升，把一升水加到原来混合液中，新的混合液体积为(1+y) 升， 在(1+y)升中的混合液中含硫酸(1+y)·20%升，再将 1 升硫酸加入到新的混合液中(把它 叫做 第二次新混合液)，则第二次新混合液的体积为(1+1+y)升，第二次新混合液中含硫酸 [1+(1+ y)·20%]x,升，根据题意列出方程为 1  (1  y )20% 1 33 % 1 1  y 3 1 y 5 1 2 y 3 1+1+y 5 1 化简方程 2+y=1 3,得 y=4，所以原来混合液体积为 4 升， 原来混合液中含硫酸(1+4)×20%=1(升). 1 因此原来混合液中含硫酸的百分比为 4 =25%. 故选(C). 2.设这两位数的十位数字是 x，个位数字是 y,则有 中考网 www.zhongkao.com 中考网 www.zhongkao.com 4. 设 平 均 每 年 增 产 的 百 分 率 为 x, 原 产 量 为 3000 吨 ， 一 年 后 的 产 量 为 3000·x+3000=3000( 1+x)(吨).两年后的产量为 3000(1+x)·x+3000(1+x)=3000(1+x)2. 列方程 3000(1+x)2=3630. 课堂教学设计说明 1.学生对列方程解应用题感到困难，这是应当引起重视的.为此，在教学过程设计中着 重讲述了写“关系式”及找相等关系列方程. 2.用代数方法列方程解应用题，由于有了 x，中间量很容易用含有 x 的代数式(关系式) 来表示，只要抓住等量关系，那么布列方程不过是把日常语言用数学符号表示出来而已. 学生是不是理解了列方程解应用问题的实质，就在于设了 x 之后能不能用含有 x 的代 数式(关系式)表示题目中涉及的未知量(中间量)，并以“关系式”为基础，根据题目中的相等 关系列出方程.对列方程到吃力的同学，大多是对这个道理解不够，虽然会设未知数 x，但 却不知用出方程.对列方程感到吃力的同学，大多是对这个道理理解不够，虽然会设未知数 x，但却不知用 x 表示题目中涉及的其他未知量；不懂得列方程的实质在于用数学符号表 示相等关系. 3.解题过程是解题原理的反映，所以我们应注意列方程解应用题的步骤.所以教学设计 中不仅在复习旧知识引入新课时引导学生回忆解应用的步骤，并且在例 1、例 2 的讲解中 把这些步骤具体化.还在例 1 中对同一个问题提出了三个解法.教学设计从三个方面来设立 未知数，写关系式及列出三个不同的方程.既加深了学生解应用题步骤的理解，也开拓了解 题思路. 中考网 www.zhongkao.com