2020小学好学高一数学教案：四.1.1 圆的标准方程

学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 www.gaokao.com 第一课时 4.1.1 圆的标准方程 教学要求：使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确 地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实 际问题，并会推导圆的标准方程 教学重点：圆的标准方程的推导步骤；根据具体条件正确写出圆的标准方程． 教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题 教学过程： 壱、 复习准备： 1.提问：两点间的距离公式？ 2.讨论：具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？ 二、讲授新课： 1. 圆的标准方程： ① 建系设点： A. C 是定点，可设 C(a，b)、半径 r，且设圆上任一点 M 坐标为(x，y))． ② 写点集:根据定义，圆就是集合 P={M||MC|=r} ③ 列方程：由两点间的距离公式得 ( x  a ) 2  ( y  b) 2 =r ④ 化简方程: 将上式两边平方得 ( x  a ) 2  ( y  b) 2 r (建系设点  写点集  列方程  化简方程  圆的标准方程 (standard equation of circle)) ⑤ 思考：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？ ⑥ 师指出：只要 a，b，r 三个量确定了且 r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的 方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定 a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来 解决． 2. 圆的标准方程的应用 ①.写出下列各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是 3；(2)经过点 P(5，1)，圆心在点 C(8，-3)； (指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．) ②. 已 知 两 点 P1(4 ， 9) 和 P2(6 ， 3) ， 求 以 P1P2 为 直 径 的 圆 的 方 程 ， 试 判 断 点 M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？ (从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决) ③ ABC 的三个定点的坐标分别是 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程 （ 用待定系数法解） ④ .已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1)和 B(2,-2),却圆心 C 在直线 L: x  y  1 0 上，求圆心为 C 的圆的标准方程。 3. 小结： ①．圆的方程的推导步骤：建系设点→写条件→列方程→化简→说明 ②．圆的方程的特点：点(aa，b))、r 分别表示圆心坐标和圆的半径； ③．求圆的方程的两种方法：（1）待定系数法；确定 a，b，r； (2)轨迹法：求曲线方程的一般方法． 三、巩固练习： 1. 练习：P131 1 4 2. 求下列条件所决定的圆的方程： (1) 圆心为 C(a3，-5)，并且与直线 x-7y+2=0 相切； (2) 过点 A(3，2)，圆心在直线 y)=2x 上，且与直线 y)=2x+5 相切． 3. 已知：一个圆的直径端点是 A(ax1，y1)、B(ax2，y2)． 证明：圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y)-y)1)(y)-y)2)=0． 4. 作业 P134 习题 4 1、2 题. 第二课时 4.1.2 圆的一般方程 教学要求：使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求 出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 教学重点：(a1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(a2)能用待定系数法， 2 学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 www.gaokao.com 由已知条件导出圆的方程． 教学难点：圆的一般方程的特点 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：圆的标准方程？ 2.对方程 x 2  y 2  2 x  4 y  1 0 配方，化为圆标准方程形式. 则圆心、半径？ 二、讲授新课： 1．圆的一般方程的定义 （1）分析方程 x 2  y 2  Dx  Ey  F 0 表示的轨迹  D E ,  2  2 1)当 D 2  E 2  4 F  0 时，方程(a1)与标准方程比较，可以看出方程表示以   为圆心， 1 D 2  E 2  4 F 为半径的圆。 2 2)当 D 2  E 2  4 F 0 时，方程只有实数解 x  ( D E , y  。它表示一个点 2 2 D E , ) 2 2 3)当 D 2  E 2  4 F  0 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （2）给出圆的一般方程的定义 当 D 2  E 2  4 F  0 时，方程 x 2  y 2  Dx  Ey  F 0 叫做圆的一般方程。 （3）思考：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？ 2．圆的一般方程的运用 1） 求过三点 O(0,0), M 1 (1,1), M 2 (4, 2) 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。 （小结：1．用待定系数法求圆的方程的步骤：1.根据题意设所求圆的方程为标准式或一般 式；2.根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程；3.解方程组，求出 a、b、r 或 D、E、F 的值，代入所设方程，就得要求的方程．） 2） 求 圆 心 在 直 线 l ： x  y 0 上 ， 且 过 两 圆 C1∶x2+y)2-2x+10y)-24=0 和 C2 ： x 2  y 2  2 x  10 y  24 0 的交点的圆的方程． 3. 小结：一般方程；化标准方程；配方法；待定系数法. 三.巩固练习： 1． P134 练习 1 3 2. 求下列各圆的一般方程： (1)过点 A(a5，1)，圆心在点 C(a8，-3)； (2)过三点 A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)． 2．已知一曲线是与两定点 O(0, 0), A(3, 0) 的距离的比为 1 的点的轨迹，求这个曲线的方 2 程，并画出曲线 3．作业： p134 习题 4.1 第 4 题 2