2020小学导数的应用问题

学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 www.gaokao.com 导数的应用问题 重难点归纳 1 f(x)在某个区间内可导，若 f′(x)＞0,则 f(x)是增函数；若 f′(x)＜0,则 f(x)是减函数 2 求函数的极值点应先求导，然后令 y′=0 得出全部导数为 0 的点，(导数为 0 的点不一 定都是极值点，例如 y=x3,当 x=0 时，导数是 0，但非极值点)，导数为 0 的点是否是极值 点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的 y′的符号，若改变符号，则该点为极值 点；若不改变符号，则非极值点，一个函数的极值点不一定在导数为 0 的点处取得，但可 得函数的极值点一定导数为 0 3 可导函数的最值可通过(a,b)内的极值和端点的函数值比较求得，但不可导函数的 极值有时可能在函数不可导的点处取得，因此，一般的连续函数还必须和导数不存在的点 的函数值进行比较，如 y=|x|,在 x=0 处不可导，但它是最小值点 典型题例示范讲解 例 1 已知 f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在 x=±1 时取得极值，且 f(1)=－1 (1)试求常数 a、b、c 的值； (2)试判断 x=±1 是函数的极小值还是极大值，并说明理由 命题意图 利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面 的继续深入 是导数应用的关键知识点，通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单 调性与其导数关系的理解 知识依托 解题的成功要靠正确思路的选择 本题从逆向思维的角度出发，根据题设结 构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化 这是解答本题的闪光 点 错解分析 本题难点是在求导之后，不会应用 f′(±1)=0 的隐含条件，因而造成了解决问 题的最大思维障碍 技巧与方法 考查函数 f(x)是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值，再通过 极值点与导数的关系，建立由极值点 x=±1 所确定的相等关系式，运用待定系数法求值 解 (1)f′(x)=3ax2+2bx+c ∵x=±1 是函数 f(x)的极值点， ∴x=±1 是方程 f′(x)=0,即 3ax2+2bx+c=0 的两根 新疆 源 源源 源源 源 ht tp: /w w w .xj kty g. co m/ w xc / 特 级教 师 王新 敞 w xc kt @126 .c om 新疆 ht tp:源/w w源源 w. xj kty源源 g. co源m/ w xc/ 特 级教 师 王新 敞 w xc kt@1 26 .c om 新疆 源 头 学子 小 屋 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m wx ckt @1 26. co m 新疆 源 头 学子 小 屋 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m wx ckt @1 26. co m 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 源源源源源源 h tp :/ w w .x jk tyg .c om /w x c/ 特级 教 师 王 新敞 w x ck t@12 6. co m 新疆 源源源源源源 h tp :/ w w .x jk tyg .c om /w x c/ 特级 教 师 王 新敞 w x ck t@12 6. co m 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c 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.x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 7 学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 www.gaokao.com 当 x=1 时，函数取得极小值 f(1)=－1 例 2 在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处，乙厂与甲厂在河的同侧， 乙厂位于离河岸 40 km 的 B 处，乙厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50 km，两厂要在此岸边合 建一个供水站 C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a 元和 5a 元，问供水 站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省？ 命题意图 学习的目的，就是要会实际应用，本题主要是考查学生运用导数知识解决 实际问题的意识，思想方法以及能力 知识依托 解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数 把“问题情景”译为数 学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题， 再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解 错解分析 本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式 技巧与方法 根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征， 合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系 解法一 根据题意知，只有点 C 在线段 AD 上某一适当位置，才能使总运费最省，设 C 点距 D 点 x km,则 ∵BD=40,AC=50－x, 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源 源源 源源 源 ht tp: /w w w .xj kty g. co m/ w xc / 特 级教 师 王新 敞 w xc kt @126 .c om 新疆 源 源源 源源 源 ht tp: /w w w. xj kty g. co m/ w xc/ 特 级教 师 王新 敞 w xc kt@1 26 .c om 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源 源源 源源源 ht tp: /w w w .xj kty g. co m/ w xc / 特 级教 师 王新 敞 w xc kt @126 .c om 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 新疆 源 头 学子 小 屋 源 源源 源源源 ht tp: /w w w. xj kty g. co m/ w xc/ 特 级教 师 王新 敞 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 w xc kt@1 26 .c om wx ckt @1 26. co m 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源 源源 源源 源 ht tp: /w w w .xj kty g. co m/ w xc / 特 级教 师 王新 敞 新疆 源头 学 子 小屋 w xc kt @126 .c om h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 新疆 源头 学 子 小屋 源 源源 源源 源 ht tp: /w w w. xj kty g. co m/ w xc/ 特 级教 师 王新 敞 w xc kt@1 26 .c om h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源源 源源 源源 h tp :/ w w .x jk tyg .c om /w x c/ 特级 教师 王 新敞 w x ck t@12 6. co m 新疆 h tp :/源源w w 源源 .x jk tyg 源源 .c om /w x c/ 特级 教师 王w x ck新敞 t@12 6. co m 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源 源源 源源源 ht tp: /w w w .xj kty g. co m/ w xc / 特级教师 王新敞 w xc kt @126 .c om 新疆 ht tp:源/w w源源 w. xj kty源源源 g. co m/ w xc/ 特级教师 王新敞 w xc kt@1 26 .c om ∴BC= BD 2  CD 2  x 2  40 2 又设总的水管费用为 y 元，依题意有 y=30(5a－x)+5a x 2  40 2 5ax y′=－3a+ 2 x  40 新疆 源源 源源 源源 h tp :/ w w .x jk tyg .c om /w x c/ 特级 教 师 王w x ck新敞 t@12 6. co m 新疆 h tp :/源源w w 源源 .x jk tyg 源源 .c om /w x c/ 特级 教 师 王 新敞 w x ck t@12 6. co m (0＜x＜50) ,令 y′=0,解得 x=30 2 在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据实际问题的意义， 函数在 x=30(km)处取得最小值，此时 AC=50－x=20(km) ∴供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处，可使水管费用最省 解法二 设∠BCD=Q,则 BC= 新疆 ht tp源 : /w w源源 w .xj kty源源 g. co源m/ w xc / 特 级教 师 王新 敞 w xc kt @126 .c om 新疆 源 源源 源源 源 ht tp: /w w w. xj kty g. co m/ w xc/ 特 级教 师 王新 敞 w xc kt@1 26 .c om 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 40 ,CD=40cotθ,(0＜θ＜  ), sin  2 ∴AC=50－40cotθ 设总的水管费用为 f(θ),依题意，有 f(θ)=3a(50－40·cotθ)+5a· =150a+40a· 40 sin  5  3 cos sin  ∴f′(θ)=40a· (5  3 cos )sin   (5  3 cos ) (sin ) 2 sin  令 f′(θ)=0,得 cosθ= 3 5 根据问题的实际意义，当 cosθ= 此时 sinθ= 3  5 cos 40a  sin 2  3 时，函数取得最小值， 5 4 ,∴cotθ= 3 , 5 4 7 学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 www.gaokao.com ∴AC=50－40cotθ=20(km),),即供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km), 处，可使水管 费用最省 例 3 已知 f(x)=x2+c,且 f［f(x)］=f(x2+1) (1)设 g(x)=f［f(x)］,求 g(x)的解析式； (2)设 φ(x)=g(x)－λff(x),试问 是否存在实数 λf,使 φ(x)在(－∞,－1)内为减函数，且 在(－1，0)内是增函数 解 (1)由题意得 f［f(x)］=f(x2+c)=(x2+c)2+c f(x2+1)=(x2+1)2+c,∵f［f(x)］=f(x2+1) 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源 源源 源源源 ht tp: /w w w .xj kty g. co m/ w xc / 特级教师 王新敞 w xc kt @126 .c om 新疆 源 源源 源源源 ht tp: /w w w. xj kty g. co m/ w xc/ 特级教师 王新敞 w xc kt@1 26 .c om 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源 源 源 源 源源 ht tp: /w w w .xj kty g. co m/ w xc / 特 级教 师 王新 敞 w xc kt @126 .c om 新疆 ht tp:源/w源w 源 w. xj源kty 源源 g. co m/ w xc/ 特 级教 师 王新 敞 w xc kt@1 26 .c om ∴(x2+c)2+c=(x2+1)2+c, ∴x2+c=x2+1,∴c=1 ∴f(x)=x2+1,g(x)=f［f(x)］=f(x2+1)=(x2+1)2+1 (2)φ(x)=g(x)－λff(x)=x4+(2－λf)x2+(2－λf) 若满足条件的 λf 存在，则 φ′(x)=4x3+2(2－λf)x ∵函数 φ(x)在(－∞,－1)上是减函数， ∴当 x＜－1 时，φ′(x)＜0 即 4x3+2(2－λf)x＜0 对于 x∈(－∞,－1)恒成立 ∴2(2－λf)＞－4x2, ∵x＜－1,∴－4x2＜－4 ∴2(2－λf)≥－4,解得 λf≤4 又函数 φ(x)在(－1,0)上是增函数 ∴当－1＜x＜0 时，φ′(x)＞0 即 4x2+2(2－λf)x＞0 对于 x∈(－1,0)恒成立 ∴2(2－λf)＜－4x2, ∵－1＜x＜0,∴－4＜4x2＜0 ∴2(2－λf)≤－4,解得 λf≥4 故当 λf=4 时，φ(x)在(－∞,－1)上是减函数，在(－1,0)上是增函数，即满足条件的 λf 存 在 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 学生巩固练习 新疆 源 源源 源源 源 ht tp: /w w w .xj kty g. co m/ w xc / 特 级教 师 王新 敞 w xc kt @126 .c om 新疆 ht tp:源/w w源源 w. xj kty源源 g. co源m/ w xc/ 特 级教 师 王新 敞 w xc kt@1 26 .c om 1 设 f(x)可导，且 f′(0)=0,又 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m lim x 0 f ( x ) =－1,则 f(0)( ) x A 可能不是 f(x)的极值 B 一定是 f(x)的极值 C 一定是 f(x)的极小值 D 等于 0 2 2 n 2 设函数 fn(x)=n x (1－x) (n 为正整数)，则 fn(x)在［0,1］上的最大值为( ) 新疆 源头 学 子 小屋 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源头 学 子 小屋 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源头 学 子 小屋 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源头 学 子 小屋 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 2 n n n 1 D 4( ) ) 2n n2 3 函数 f(x)=loga(3x2+5x－2)(a＞0 且 a≠1)的单调区间_______ 4 在半径为 R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_______时它的面积最大 5 设 f(x)=ax3+x 恰有三个单调区间，试确定 a 的取值范围，并求其单调区间 6 设 x=1 与 x=2 是函数 f(x)=alnx+bx2+x 的两个极值点 (1)试确定常数 a 和 b 的值； (2)试判断 x=1,x=2 是函数 f(x)的极大值还是极小值，并说明理由 7 已知 a、b 为实数，且 b＞a＞e,其中 e 为自然对数的底， A 0 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om B 1 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om C (1  新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源头 学 子 小屋 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源 头 学子 小 屋 新疆 源头 学 子 小屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特级 教 师 王新 敞 特 级 教师 王新敞 wx ckt @1 26. co m w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源 头 学子 小 屋 新疆 源头 学 子 小屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特级 教 师 王新 敞 特 级 教师 王新敞 wx ckt @1 26. co m w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 源 头 学子 小 屋 wx ckt @1 26. co m ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m wx ckt @1 26. co m ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m w xc kt@ 12 6.c om ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特 级 教师 王新敞 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 w xc kt@ 12 6.c om h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 源 头 学子 小 屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 新疆 源头 学 子 小屋 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 新疆 源 头 学子 小 屋 新疆 源 头 学子 小 屋 新疆 源头 学 子 小屋 wx ckt @1 26. co m 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 7 学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 求证 ab＞ba 高考网 www.gaokao.com 新疆 源 源源 源源 源 ht tp: /w w w .xj kty g. co m/ w xc / 特 级教 师 王新 敞 w xc kt @126 .c om 新疆 源 源源 源源 源 ht tp: /w w w. xj kty g. co m/ w xc/ 特 级教 师 王新 敞 w xc kt@1 26 .c om 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 8 设关于 x 的方程 2x2－ax－2=0 的两根为 α、β(α＜β),函数 f(x)= 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 4x  a x2 1 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m (1)求 f(α)·f(β)的值； (2)证明 f(x)是［α，β］上的增函数； (3)当 a 为何值时，f(x)在区间［α，β］上的最大值与最小值之差最小？ 参考答案 新疆 源 源源 源源 源 ht tp: /w w w .xj kty g. co m/ w xc / 特 级教 师 王新 敞 w xc kt @126 .c om 新疆 ht tp:源/w w源源 w. xj kty源源 g. co源m/ w xc/ 特 级教 师 王新 敞 w xc kt@1 26 .c om 1 解析 由 新疆 源源源源源源 h tp :/ w w .x jk tyg .c om /w x c/ 特级 教 师 王新敞 w x ck t@12 6. co m 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 新疆 源 头 学子 小 屋 源源源源源源 h tp :/ w w .x jk tyg .c om /w x c/ 特级 教 师 王新敞 w x ck t@12 6. co m ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m lim x 0 f (0) =－1,故存在含有 0 的区间(a,b)使当 x∈(a,b),x≠0 时 f (0) ＜0, x x 于是当 x∈(a,0)时 f′(0)＞0,当 x∈(0,b)时，f′(0)＜0,这样 f(x)在(a,0)上单增，在(0,b)上单减 答案 B 2 解析 ∵f′n(x)=2xn2(1－x)n－n3x2(1－x)n-1 =n2x(1－x)n-1［2(1－x)－nx］, 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 源 源源 源源 源 ht tp: /w w w .xj kty g. co m/ w xc / 特 级教 师 王新 敞 w xc kt @126 .c om 新疆 ht tp:源/w w源源 w. xj kty源源 g. co源m/ w xc/ 特 级教 师 王新 敞 w xc kt@1 26 .c om 新疆 源源源源源源 h tp :/ w w .x jk tyg .c om /w x c/ 特级 教 师 王新敞 w x ck t@12 6. co m 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 新疆 源 头 学子 小 屋 h tp :/源w源w 源 .x jk源tyg 源 .c om源/w x c/ 特级 教 师 王新敞 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 w x ck t@12 6. co m wx ckt @1 26. co m 令 f′n(x)=0,得 x1=0,x2=1,x3= 易知 fn(x)在 x= 2 , 2n 2 时取得最大值， 2n 2 )=n2( 2 )2(1－ 2 )n=4·( n )n+1 2n 2n 2n 2n 答案 D 最大值 fn( 新疆 源 源源 源源 源 ht tp: /w w w .xj kty g. co m/ w xc / 特 级教 师 王新 敞 w xc kt @126 .c om 新疆 ht tp:源/w w源源 w. xj kty源源 g. co源m/ w xc/ 特 级教 师 王新 敞 w xc kt@1 26 .c om 3 解析 函数的定义域是 x＞ 新疆 h tp 源 :/ w源w 源 .x jk源tyg 源 .c om源/w x c/ 特级 教 师 王新敞 新疆 源 头 学子 小 屋 w x ck t@12 6. co m ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 新疆 源 头 学子 小 屋 源源源源源源 h tp :/ w w .x jk tyg .c om /w x c/ 特级 教 师 王新敞 w x ck t@12 6. co m ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m f′(x)= 1 或 x＜－2, 3 log a e (3x2+5x－2)′= (6 x  5) log a e , (3 x  1)( x  2) 3x  5 x  2 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 2 ① 若 a＞1,则当 x＞ 1 时，log e＞0,6x+5＞0,(3x－1)(x+2)＞0, a 3 1 ,+∞)上是增函数，x＜－2 时，f′(x)＜0 3 ∴函数 f(x)在(－∞,－2)上是减函数 ∴f′(x)＞0,∴函数 f(x)在( 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 1 时，f′(x)＜0,∴f(x)在( 1 ,+∞)上是减函数， 3 3 当 x＜－2 时，f′(x)＞0,∴f(x)在(－∞,－2)上是增函数 答案 (－∞,－2) 4 解析 设圆内接等腰三角形的底边长为 2x,高为 h， 那么 h=AO+BO=R+ ,解得 2 2 ② 若 0＜a＜1,则当 x＞ 新疆 源 源源 源源 源 ht tp: /w w w .xj kty g. co m/ w xc / 特 级教 师 王新 敞 w xc kt @126 .c om 新疆 ht tp:源/w w源源 w. xj kty源源 g. co源m/ w xc/ 特 级教 师 王新 敞 w xc kt@1 26 .c om 新疆 源源源源源源 h tp :/ w w .x jk tyg .c om /w x c/ 特级 教 师 王新敞 w x ck t@12 6. co m 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 新疆 源 头 学子 小 屋 h tp :/源w源w 源 .x jk源tyg 源 .c om源/w x c/ 特级 教 师 王新敞 w x ck t@12 6. co m ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m R  x x2=h(2R－h),于是内接三角形的面积为 S=x·h= 从而 ( 2 Rh  h 2 ) h  ( 2 Rh 3  h 4 ) , A 1  1 S   ( 2 Rh 3  h 4 ) 2 ( 2 Rh 3  h 4 ) 2 O B D C 7 学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 www.gaokao.com 1  1 h 2 (3R  2h)  (2 Rh 3  h 4 ) 2 (6 Rh 2  4h 3 )  2 ( 2 R  h) h 3 令 S′=0,解得 h= 3 R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R)上列表如下  2 新疆 源 源 源 源 源源 ht tp: /w w w .xj kty g. co m/ w xc / 特 级教 师 王新 敞 w xc kt @126 .c om 新疆 源 源 源 源 源源 ht tp: /w w w. xj kty g. co m/ w xc/ 特 级教 师 王新 敞 w xc kt@1 26 .c om 3 2 R) 3R 2 S′ + 0 S 增函数 最大值 (0, h 由此表可知，当 x= 3 R 时，等腰三角形面积最大 2 ( 3 ,2 2 R) － 减函数 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 3R 2 5 解 f′(x)=3ax2+1 若 a＞0,f′(x)＞0 对 x∈(－∞,+∞)恒成立， 此时 f(x)只有一个单调区间，矛盾 若 a=0,f′(x)=1＞0,∴x∈(－∞,+∞),f(x)也只有一个单调区间，矛盾 答案 新疆 ht tp源 : /w w源源 w .xj kty源源 g. co源m/ w xc / 特 级教 师 王新 敞 w xc kt @126 .c om 新疆 源 源源 源源 源 ht tp: /w w w. xj kty g. co m/ w xc/ 特 级教 师 王新 敞 w xc kt@1 26 .c om 新疆 源源源源源源 h tp :/ w w .x jk tyg .c om /w x c/ 新疆 源 头 学子 小 屋 特级 教 师 王 新敞 w x ck t@12 6. co m ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 h tp :/源w源w 源 .x jk源tyg 源 .c om源/w x c/ 特级 教 师 王 新敞 w x ck t@12 6. co m 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 1 若 a＜0,∵f′(x)=3a(x+ 3| a | 此时 f(x)恰有三个单调区间 1 3| a | ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m ), 3| a | 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m ∴a＜0 且单调减区间为(－∞,－ 单调增区间为(－ 1 )·(x－ 新疆 源 头 学子 小 屋 1 3| a | 1 , 3| a | ) )和( 1 3| a | ,+∞)， 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om a +2bx+1 x (1)由极值点的必要条件可知 f′(1)=f′(2)=0, 6 解 f′(x)= 新疆 h tp 源 :/ w源w 源 .x jk源tyg 源 .c om源/w x c/ 新疆 源 头 学子 小 屋 特级 教 师 王w x ck新敞 t@12 6. co m ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 源源源源源源 h tp :/ w w .x jk tyg .c om /w x c/ 特级 教 师 王 新敞 w x ck t@12 6. co m 新疆 源源源源源源 h tp :/ w w .x jk tyg .c om /w x c/ 特级教 师 王w x ck新敞 t@12 6. co m 新疆 h tp :/源w源w 源 .x jk源tyg 源 .c om源/w x c/ 特级教 师 王w x ck新敞 t@12 6. co m 即 a+2b+1=0,且 ∴f(x)=－ a +4b+1=0,解方程组可得 a=－ 2 ,b=－ 1 , 2 3 6 2 lnx－ 1 x2+x 3 6 2 x-1－ 1 x+1,当 x∈(0,1)时，f′(x)＜0, 3 3 当 x∈(1,2)时，f′(x)＞0, 当 x∈(2,+∞)时，f′(x)＜0, (2)f′(x)=－ 5 ,在 x=2 处函数取得极大值 4 － 2 ln2 6 3 3 7 证法一 ∵b＞a＞e,∴要证 ab＞ba,只要证 blna＞alnb, 故在 x=1 处函数 f(x)取得极小值 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源源源源源源 h tp :/ w w .x jk tyg .c om /w x c/ 新疆 源 头 学子 小 屋 特级 教 师 王新敞 w x ck t@12 6. co m ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 h tp :/源w源w 源 .x jk源tyg 源 .c om源/w x c/ 特级 教 师 王新敞 w x ck t@12 6. co m 设 f(b)=blna－alnb(b＞e),则 f′(b)=lna－ ∵b＞a＞e,∴lna＞1,且 a ＜1,∴f′(b)＞0 b a b 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 源 头 学子 小 屋 ht p:/w w .x jkty g.c om /wx c/ 特级 教 师 王新 敞 wx ckt @1 26. co m 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源头 学 子 小屋 h tp:/ /w w. xjk tyg. co m/w xc / 特 级 教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 7