2020小学第二0课对数的概念

学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 www.gaokao.com 第 20 课 对数的概念 江苏省海门中学 陈达 [教学目标] （1） 理解对数概念，通过对数概念的引入培养学生运用数学的意 识； （2） 明确指数式与对数式的关系，熟练掌握指数式与对数式的互 化. [学习指导] （1） 理解对数概念，通过对数概念的引入培养学生运用数学的意 识； （2） 熟练掌握指数式与对数式的关系，能够进行指数式与对数式 的互化，学会利用转化思想处理问题； （3） 掌握对数的运算性质和运算法则，理解推导法则的依据和过 程，并会用语言叙述，培养学生数学语言的转换能力，能处理 数据、理解算理及根据问题的情景，寻求合理、简洁的运算途 径，提高运算能力. [例题精析] 例 1.将下列指数式改写成对数式 （1） 5 4 625 ；（2） 3  3  1 27 ；（3） 5 9 20 ；（4） ( 1 ) b 2 0.45 . [分析] 指数式 a b  N 与对数式 log a b  N 中 a, b, N 的关系： 32 学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 www.gaokao.com 名称 式子 a b N 指数式 a b  N 底数 指数 幂的值 对数式 log a b  N 底数 对数 真数 通过以上的直观图示可以看出，对数式与指数式虽然反映的是两种 不同的运算，但都表示 a, b, N 三个数之间的同一数量关系，这两种 运算互为逆运算，在 a  0且a 1 的条件下，它们可以相互转化. [解法] （1） log 5 625 4 ； （ 2 ） log 3 1  3 ； （ 3 ） log 5 20 b ； （ 4 ） 27 log 1 0.45 b . 2 例 2.把下列对数式改写成指数式 （1） log 5 125 3 ；（2） log 1 3 3  2 ；（3） log 10 a  1.699 . [分析] 同例 1. [解法] （1） 5 3 125 ；（2） ( 1 3 )  2 3 ；（3） 10  1.699 a . [评注] 对对数中的 N , b 作一些归纳说明： “N”：指数式中的幂，对数式中的真数，在 a  0且a 1 的前提下，它 的值恒为正数； “b”：指数式中的指数，对数式中的对数，在 a  0且a 1 的前提下， 32 学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 www.gaokao.com b 可正、可负、可为零，即为一切实数. 例 3.求下列各式的值 （1） log 4 4 ；（2） log 7 1 . [分析] 利用对数式与指数式的互化来解决. [解法] （1） 设 log 4 4  x ，则 4 x 4, x 1, 即 log 4 4 1 . （2） 设 log 7 1  x ，则 7 x 1, 7 0 1, x 0, 即 log 7 1 0 . [评注] 通过例 3 可归纳出两个一般性的结论： （1） log a a 1(a  0且a 1) ；（2） log a 1 0(a  0且a 1) . 例 4.求下列各式的值 （1） log 2 64 ；（2） log 9 27 . [分析] （1） 直接由指数等式得到对数值，或通过互化来解决； （2） 将对数式化成指数式再来求出对数值. [解法] （1）法一：由 2 6 64得 log 64 6 . 2 法二：设 log 2 64  x ，则 2 x 64, 2 6 64  x 6, 即 log 2 64 6 . （2）设 log 9 27  x ，则 32 x 3 3 33 , 2 x 3, x  ,即 log 9 27  . 2 2 [评注] （1） 解法一当真数可用底数直接写成指数式时较方便； 32 学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 www.gaokao.com （2） 解法二当真数不可用已知底数直接写成指数式，利用对数式 先化成指数式，再利用方程解出，更具有一般性. [本课练习] 1.将下列指数式改写成对数式 （1） 3 2 3 ；（2）  0 1 . 2.把下列对数式改写成指数式 （1） log 1 10 100  2 ；（2） log 0 .5 8  3 . 3.求下列各式中的 x 并指出计算 x 时是求幂、求对数、或是求方根 （1） 3 4  x ；（2） x 2 1000 ；（3） 10 x 0.0001 ；（4） log 3 1  x . 9 4.利用计算器计算下列对数的值（结果保留 4 为小数） （1） log 3 4 ；（2） log 5 2 ；（3） ln 1.2 ；（4） lg 0.6 . 5.已知 a  0, a 1, N （  0, b  R ） 1 2 5 log a a  ______;log a a  ______;log a a 归纳出 log a a b （2）证明 a log a N 3 计 算 1 5  ______;log a a  ______;  ______ ，请加以证明. N . [背景材料] 可参考人民教育出版社、湖南教育出版社的数学教材中的相关内容. [教学建议] （1） 通过实例分析，使学生感受到引入“对数”概念的必要性； （2） 对数概念中，字母 a 的条件“ a  0, a 1 ”可视学生实际情况作 介绍； 32 学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 www.gaokao.com （3） 对数的性质通过例题教学让学生加以概括和总结，并引起重 视； （4） 对数的两个恒等式在习题中让学生分析证明，如何掌握对解 决其它问题带来更多的方便； （5） 常用对数和自然对数的概念也应想学生作适当的介绍； （6） 让学生利用计算器求出对数值的近似值. 32