2020小学一元二次方程解法的综合运用

中考网 www.zhongkao.com 元二次方程解法的综合运用 [内容] 教学目标 (一)巩固、掌握解一元二次方程的四种解法： (二)提高题目难度，培养计算能力和计算技巧，渗透换元思想； (三)培养观察能力，根据题目结构，选择恰当的解法. 教学重点的难点 重点：四种方法的综合运用，选择恰当的解法. 难点：选择恰当的解法.要有一定的计算能力和技巧. 教学过程设计 (一)复习 1.一元二次方程的一般形式是什么? 2.不完全的一元二次方程有哪几种? 3.解一元二次方程有哪四种方法? (二)新课 同一个题目可能会有多种解法，我们应该根据题目的结构选取恰当的解法.在解题过 程中应该根据算理，发挥计算技能，要有毅力计算到底，并在解题过程中随时检查可能出 现 的错误. 例 1 解方程：x(x-1)= 3 x(x+1) 分析：(启发学生一起想)先化为一般形式. 解 ： 原 方 程 化 为 (1- 3 )x2-(1+ 3 )x=0, 提 取 公 因 式 x, 得 x[(1- 3 )x-(1+ 3 )]=0,x=0,(1- 3 )x-(1+ 3 )=0. (二次根式运算的结果，应化为最简二次根式) 例 2 解方程：(3x+2)2-8(3x+2)+15=0. 分析：(启发学生一起想)不宜把(3x+2)2 和 8(3x+2)展开整理为一元二次方程一般形式. 观察题目的结构可见，把 3x+2 换元为 t，则原方程就是 t 的一元二次方程. 解：设 3x+2=t,原方程变为 t2-8t+15=0,(t-3)(t-5)=0.所以 t1=3,t2=5.即 3x+2=3 或 3x+2= 1 5.故 x1= 3 1 3,x2=1. 注 ： 本 题 也 可 直 接 写 为 [(3x+2)-3][(3x+2)-5]=0, 即 (3x-1)(3x-3)=0, 故 x1=1 3,x2=1. 例 3 解方程：144x2=61-208x. 解 ： 原 方 程 化 为 144x2+208x-61=0, 则 a=144,b=208,c=-61.b2-4ac=20824×144(-61)=2082+4×144×61. 中考网 www.zhongkao.com 中考网 www.zhongkao.com (此题数据太大，不宜大乘大除，应注意计算技巧.分解因数，提取公因数，化为连乘积) b2-4ac=(16×13) 2+22×42×9×61=82 (4×169＋9×61)=82×1225=(8×35) 2＞0, 原方程有实根. x  208 8 35  26 35 1 61  , 所以x1  , x 2  36 36 4 36 例 4 解方程：2(x+1)2+3(x+1)(x-2)-2(x-2) 2=0. 分析：如果把各项展开，整理为一元二次方程的一般过程太繁.观察题目结构，可换元 . 解：设 x+1=m,x-2=n,原方程变形为 2m2+3mn-2n2=0,左边因式分解为(2m-n) (m+2n)=0,2 m-n=0 或 m+2n=0,即 2(x+1)-(x-2)=0 或(x+1)+2(x-2)=0 所以 x1=-4 ,x2=1. 另解：也可直接写为 [2(x+1)-(x-2)][(x+1)+2(x-2)]=0, 2x+2-x+2=0 或 x+1+2x-4=0, 故 x1=-4,x2=1. 例 5 解方程：(x+2)(x+3)(x-4)(x-5)=44. 分析：从例 4 的解题过程，我们再一次体会到，解方程的基本思想之一是“降次”，例 如把一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程. 本题是一元四次方程，我们试试能不能和因式分解法把方程(注意，必须等号一边为 0) (x+2)(x+3)(x-4)(x-5)-44=0 的左边分解因式. 解：(x+2)(x+3)(x-4)(x-5)-44=0，[(x+2)(x-4)][(x+3)(x-5)]-44=0,(x2-2x-8) (x2-2x-15)-44=0, 令 y=x2-2x-8,原方程变为 y(y-7)-44=0,即 y2-7y-44=0,(y-11)(y+4)=0,y-11=0 或 y+4=0 ,即 x2-2x-8-11=0 或 x2-2x-8+4=0. 由 x2-2x-19=0，得 x1,2=1±2 所以 5 ；由 x2-2x-4=0,得 x3,4=1± 5 . x1=1+2 5 ,x2=1-2 5 ,x3=1+ 5 ,x4=1- 5 . (三)课堂练习 3 3 1 1.解方程：( 4 -x)2-(x- 4 )( 2 -x)=0. 2.解方程：x2+ 2 x-1=0. 3 5 (1.x1= 4 ,x2= 8 . 2.x=  2 6  2 2 (四)小结 1.换元、降次是解方程的重要思路. 2.计算过程应尽可能简捷、合理，尽可能避免大乘大除. (五)作业 1.用适当方法解方程： (1) x2+2=3x; (3) (x-1)(x+2)=70; (2) x2=3x+2; (4) (3-x) 2=9-x2; 中考网 www.zhongkao.com 中考网 www.zhongkao.com (5) (y+3) 2-2=0; (6) (3x-2)=2(3-x); (7) x2+(1-3 5 )x+4+ 5 =0; (9) (x+7)(x-7)=2x-50; ２．解关于 x 的方程： 作业的答案或提示 中考网 www.zhongkao.com (8) 2(x+1)(x+2)=3x(x+2); (10) (3x-1)(x+3)=1; 中考网 www.zhongkao.com 当 a=b=0 时，方程的解不定； 当 a≠0 时， x1  bc , x 2 b  c a 当 a=0,bc≠0 时，x=b+c,当 a=b=0 或 a=c=0 时，方程的解不定. 课堂教学设计说明 1.例 2，例 4，例 5 都渗透了换元、降次的思想. 2.例 3 说明了在具体计算时，要合理计算即尽量利用数学公式，性质，使计算简捷. 中考网 www.zhongkao.com