初一数学上册《有理数》知识汇总

正数和负数 正数和负数的概念 (1) 像 3、1.5、1/2、584 等大于 0 的数，叫做正数，在小学学过的数， 除 0 以外都是正数，正数比 0 大。 (2) 像-3、-1.5、-1/2、-584 等在正数前面加“-”(读作负)号的数，叫做负 数。负数比 0 小。 (3) 零即不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。 注意： (1) 为了强调，正数前面有时也可以加上“+”(读作正)号，例如：3、1.5 也可以写作+3、+1.5。 (2) 对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“+”号的数是正数，带 “-”号的数是负数。 例如：-a 一定是负数吗?答案是不一定。因为字母 a 可以表示任意的数， 若 a 表示的是正数，则-a 是负数;若 a 表示的是 0，则-a 仍是 0;当 a 表示负数 时，-a 就不是负数了(此时-a 是正数)。 正数、负数表示 正数和负数是根据实际需要而产生的，随着社会的发展，小学学过的自 然数、分数和小数已不能满足实际的需要，比如一些有相反意义的量：收入 200 元和支出 100 元、零上 6 和零下等等，它们不但意义相反，而且表示一 定的数量，怎样表示它们呢? 我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的的量规定为 负的，这样就产生了正数和负数。 用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选 择的，但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下 降、支出、零下温度”等规定为负。 有理数 知识点 1 有理数的有关概念 有理数：整数和分数统称为有理数。 注：(1)有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为 1 的数，这时的 分数包括整数。但是本讲中的分数不包括分母是 1 的分数。 (2)因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分 数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。 (3)“0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。 整数包括正整数、零、负整数。例如：1、2、3、0、-1、-2、-3 等等。 分数包括正分数和负分数，例如：1/2、0.6、-1/2、-0.6 等等。 知识点 2 有理数的分类 (1) 按整数、分数的关系分类： (2) 按正数、负数与 0 的关系分类： 注：通常把正数和 0 统称为非负数，负数和 0 统称为非正数，正整数和 0 称为非负整数(也叫做自然数)，负整数和 0 统称为非正整数。 如果用字母表示数，则 a>0 表明 a 是正数;a<0 表明 a 是负数;a≥0 表明 a 是非负数;a≤0 表明 a 是非正数。 知识点 3 数轴 数轴是理解有理数概念与运算的重要工具，数与表示数的图形 (如数轴) 相结合的思想是学习数学的重要思想。正如华罗庚教授诗云： 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。 数缺形时少直觉，形少数是难入微。 数形结合百般好，隔裂分家万事非。 切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离! 数与形的第一次联姻——数轴，使数与直线上的点之间建立了对应关系 ， 揭示了数与形的内在联系，并由此成为数形结合的基础。 1.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 数轴的定义包含三层含义： (1) 数轴是一条直线，可以向两端无限延伸; (2) 数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可; (3) 原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际 需要“规定”的(通常取向右为正方向)。 2.数轴的画法： (1) 画一条直线(一般画成水平的直线)。 (2) 在直线上选取一点为原点，并用这点表示零(在原点下面标上“0”)。 (3) 确定正方向(一般规定向右为正)，用箭头表示出来。 (4) 选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取 一点，依次表示为 1，2，3……;从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依 次表示为-1，-2，-3…… 注： (1) 原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取; (2) 确定单位长度时，根据实际情况，有时也可以每隔两个(或更多的)单 位长度取一点，从原点向右，依次表示为 2，4，6，……;从原点向左，依次 表示为-2，-4，-6，……; 3.数轴上的点与有理数的关系： 所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数可以用原点右边的点 表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。 4.利用数轴比较有理数的大小： 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于 0;负数 都小于 0;正数大于一切负数。 知识点 4 相反数 1.相反数的定义 (1) 相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个 点所表示的数，叫做互为相反数。如，4 与-4 互为相反数。 (2) 相反数的代数定义：只有符号不同的两个数(除了符号不同以外完全 相同)，我们说其中一个是另一个的相反数。 2.相反数的性质： 任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数是负数，负数的 相反数是正数，0 的相反数是 0。 0 是唯一一个相反数等于本身的数。反之，如果 a=-a，那么 a 一定是 0. 3.相反数的特征： 若 a 与 b 互为相反数，则 a+b=0(或 a=-b) 若 a+b=0(或 a=-b)，则 a 与 b 互为相反数。 4.求一个数的相反数的方法：(见书) 5.多重符号的化简 (1) 在一个数的前面添上一个“+”号，仍然与原数相同，如+5=5，+(5)=-5。 (2) 在一个数的前面添上一个“-”号，就成为原数的相反数。如-(-3)就是3 的相反数，因此，-(-3)=3。 知识点 5 绝对值的概念 1.绝对值的几何定义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原 点的距离，数 a 的绝对值记作“丨 a 丨” 2.绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是 它的相反数;0 的绝对值是 0。 知识点 6 有理数大小的比较 正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值 大的反而小。 利用数轴，在数轴右边的数永远大于左边的数。 有理数的加减法 有理数的加法 把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。 相加的两个有理数有以下几种情况： (1)两数都是正数; (2)两数都是负数; (3)两数异号，即一个是正数，一个是负数; (4)一个是正数，一个是 0; (5)一个是负数，一个是 0; (6)两个都是 0。 知识点 2 有理数加法法则 (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 (2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较 大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得 0。 (3)一个数同 0 相加，仍得这个数。 知识点 3 有理数加法的运算定律 (1)加法交换律：a+b=b+a。 (2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 知识点 4 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 a-b=a+(-b)。 知识点 5 有理数的加减混合运算 1.有理数加减法统一成加法的意义 对于有理数的加减混合运算中的减法，可以根据有理数减法法则将减法 转化为加法。 这样一来，就将原来的混合运算统一为加法运算。统一成加法以后的式 子是几个正数或负数的和的形式，有时，我们把这样的式子叫做代数和。 2.有理数加减混合运算的方法 (1) 运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。 (2) 运用加法法则、加法交换律、加法结合律简便运算。 有理数的乘除法 知识点 1 有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同 0 相乘， 都得 0。 知识点 2 倒数的概念 乘积是 1 的两个数互为倒数。 由于 a×1/a(a≠0) ，所以当 a 是不为 0 的有理数时，a 的倒数是 1/a。若 a、b 互为倒数，则 ab=1。 知识点 3 有理数乘法法则的推广 (1)几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有 奇数个时，积为负;当负因数有偶数个时，积为正。 (2)几个数相乘，只要有一个因数为 0，积就为 0。 知识点 4 有理数乘法的运算定律 (1)乘法交换律：ab=ba。 (2)乘法结合律：(ab)c=a(bc)。 (3)分配律：a(b+c)=ab+ac。 知识点 5 有理数除法法则 (1) 除以一个数等于乘以这个数的倒数。即 a÷b=a×1/b(b≠0)。 (2) 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个 不等于 0 的数，都得 0。 知识点 6 有理数的乘除混合运算 除转乘，确定符号。 知识点 7 有理数的四则混合运算 先乘除，后加减，如果有括号，就先算括号里面的。同级运算中，要按 照从左到右的顺序。 有理数的乘方 知识点 1 有理数乘方的意义 知识点 2 有理数乘方运算的性质 正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 。 0 的任何次幂都是 0。 知识点 3 有理数混合运算的运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 知识点 4 科学计数法 知识点 5 研究近似数的意义 在生产实践和实际生活中，不仅存在着大量的准确数，同时也存在着大 量的近似数。近似数就是与实际接近的数。 出现近似数的原因有两点：一是有时候不能得到完全准确的数，如太阳 的半径大约是 696 000 千米;二是有时也没有必要弄得完全准确，如买 10 千 克大米，有时可能多一点，有时也可能少一点。 知识点 6 有效数字 四舍五入后的近似数，从左边第一个不为 0 的数字起，到精确到的数位 止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。 方法技巧 1：在只含有乘、除法的算式中，可以由“负”号的个数确定结 果的符号。“负”号有奇数个时，结果为负;“负”号有偶数个时，结果为正。 方法技巧 2：分数、小数乘除混合运算，通常把小数化为分数，带分数 化为假分数。当把乘除都化成乘积的形式时，应先确定积和符号。含有多重 括号，去括号的一般方法是由内向外，即依次去掉小、中、大括号，也可以 由外到内。在进行混合运算时，要注意两点：一是运算顺序，二是运算符号。 方法技巧 3：灵活运用有理数的运算法则、运算律，适当地添加或去括 号改变运算顺序常可达到简化运算的效果。凑整、分组、拆项、相消、分解 相约、整体处理等是有理数运算常用的方法与技巧。