2020广东南方电网招聘考试行测备考：谈谈插值法法应用条件

  
目前数量关系不定方程组中，出现了一个问题。有老师发现做“不定方程组求整体”这类问题的时候，采用插值法得不到正确答案。很多数资老师在询问，就是不定方程组中，插值法到底什么时候能用，什么时候不能用。  
其实关于这个问题，是完全可以使用线性代数的知识进行解答的。但是考虑到很多老师早都已经忘记里面的相关内容，或者可能根本就没学过。所以这边采用一种非常易于理解的方式来回答这个问题。  
以这个题目为例  
【例1】甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔，共花了32元，乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔，共花了43元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱?  
A.21元B.11元  
C.10元D.17元  
【答案】C  
对于这个例题，可以采用配系数法。实际上这个题目还有一种解法，叫做换元法。换元法具体是这样解题的：设签字笔、圆珠笔、铅笔的单价分别为x、y、z元，得到不定方程组3x+7y+z=32、4x+10y+z=43。将两式进行变形得到(x+y+z)+2(x+3y)=32、(x+y+z)+3(x+3y)=43。令a=x+y+z、b=x+3y，可得a+2b=32、a+3b=43，解得a=10、b=11。  
因此，选择C选项。  
根据换元法的解题过程，经过换元之后，大家会发现最终形成的是一个二元一次方程组。  
这种方程是有唯一解的。a的值是唯一且确定的，也就意味着x+y+z的值是唯一确定的。因此，无论x、y、z的值如何取，都不会影响最终的结果(注意与x、y、z是不是一定要取整数无关)，所以我们可以采用插值法。  
而对于不能采用插值法的不定方程组求整体类的问题，则无法通过换元形成二元一次方程组。  
【例2】某次数学竞赛准备了22支铅笔作为一、二、三等奖的奖品，原计划一等奖每人发6支，二等奖每人发3支，三等奖每人发2支。后来又改为一等奖每人发9支，二等奖每人发4支，三等奖每人发1支。问有多少人获奖?  
A.21元B.11元  
C.10元D.17元  
设一、二、三等奖的人数分别为x、y、z人，得到不定方程组6x+3y+2z=22、9x+4y+z=22。  
同样的，我们尝试一下换元法，将两式进行变形得到2(x+y+z)+(4x+y)=22、(x+y+z)+(8x+3y)=22，无法使用换元法。其实也就意味着在这个问题中，由于系数设置的原因，x+y+z不能取得唯一确定解。因此如果使用插值法，只能得到一组特殊解。若这组特殊解不能满足题中隐藏的特定条件(比如求最值、未知数必须为整数等)，则会导致题目无答案、甚至选错答案。  
综上所述，如果能够利用换元法，则必然能够用插值法。若无法使用换元法，则无法使用插值法。当然本质上还是因为线性代数中行列式的秩，也就是自由度。不过用这种方式解释可以较为容易理解。