2020广西农村信用社考试备考热点：几何最值理论的应用

几何最值理论：

一、平面图形中，若周长一定，越接近于圆，面积越大;四边形中，若周长一定，越接近正方形，面积越大。

二、平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小;四边形中，若面积一定，越接近正方形，周长越小。

三、立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。

四、立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小。

在几何问题的考察中，有些问题直接考察的就是几何最值理论的应用，如下面的例题：

【例1】某地市区有一个长方形广场其面积为1600平方米。由此可知，这个广场的周长至少有：

A.160米B.200米

C.240米D.320米

【答案】A

【解析】第一步，本题考查几何问题。

第二步，长方形广场面积1600平方米为定值，现想让广场的周长最小，可知考察知识点为几何最值理论。

第三步，由几何最值理论可知面积一定时，越接近正方形，周长越小。即该广场为正方形时周长最小。面积为1600平方米，则边长为40米，周长为160米。因此，选择A选项。

【例2】（2008国考）相同表面积的四面体、六面体、正十二面体及正二十面体，其中体积最大的是()

A.四面体B.六面体

C.正十二面体D.正二十面体

【答案】D

【解析】第一步，本题考查几何问题。

第二步，四面体、六面体、正十二面体及正二十面体表面积相同，问谁的体积最大的，可知考察知识点为几何最值理论。

第三步，由几何最值理论可知立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大，则最接近球的为正二十面体，体积最大。因此，选择D选项。

【例3】（2018江西—70）设a、b、c、d分别代表四棱台、圆柱、正方体和球体，已知这四个几何体的表面积相同，则体积最小与体积最大的几何体分别是：（）。

A.d和aB.c和d

C.a和dD.d和b

【答案】C

【解析】第一步，本题考查几何问题。

第二步，四个几何体的表面积相同表面积相同，问体积最小与体积最大的几何体分别是谁，可知考察知识点为几何最值理论。

第三步，由几何最值理论可知立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大，则球的体积最大，最不接近球的为四棱台，它的体积最小。因此，选择C选项。

除了直接考察以外，几何最值理论还会结合其他题型考察杂糅的考点，这部分难度略高，还是需要我们熟知几何最值理论的知识点及应用来结合其他题型的知识点来进行求解，如下面的例题：

【例4】某村民要在屋顶建造一个长方体无盖贮水池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么要造一个深为3米、容积为48立方米的无盖贮水池最低造价是多少元？

A.6460B.7200

C.8160D.9600

【答案】C

【解析】第一步，本题考查几何问题。

第二步，由体积为48立方米，深度是3米，可知池底的面积为平方米，则池底的造价为元，池底造价是不变的，所以要想水池的造价最少，则池壁的面积应尽量的小，池壁的面积为池底的周长乘以水池的深度，水池的深度为3米，若想让池壁的面积尽量的小，则应让池底的周长尽量的小。

第三步，根据几何最值理论当四边形面积一定时，越接近正方形，周长越短，池底周长最小的时候应为正方形，池底的面积为16平方米，则边长为4米，周长为16米，则池壁的造价为元。总造价为元。因此，选择C选项。

【例5】园丁将若干同样大小的花盆在平地上摆放为不同的几何图形，发现如果增加5盆，就能摆成实心正三角形，如果减少4盆，就能摆成每边多于1个花盆的实心正方形。问将现有的花盆摆成实心矩形，最外层最少有多少盆花？（）

A.22B.24

C.26D.28

【答案】A

【解析】第一步，本题为方阵问题与几何问题杂糅的题型。

第二步，若想让最外层的花盆数最少，则花盆的总数应最少，根据增加5盆能摆成实心正三角形可知，摆成一个边有n个花盆的实心正三角形需要个花盆，则花盆总数为个；减少4盆能摆成实心正方形，说明（花盆总数－4）即是一个平方数。采用特殊值由小到大依次代入验证，发现当n最小为9的时候满足条件，此时花盆数为40。

第三步，现花盆总数40是固定的，如果把这些花盆摆成实心矩形，则花盆总数等于长乘宽，即相当于面积固定，现要求最外层的花盆数最少，即相当于周长最小。根据几何最值理论，当四边形面积一定时，越接近正方形，周长越短。面积为40，最接近正方形的矩形为,两条边分别是5和8时，最外层花盆数最少，根据方阵问题的知识点可知，最外层数量等于方阵外层四条边的总和减四。此时最外层有（盆）花。因此，选择A选项。

以上是关于几何最值理论内容的讲解，通过以上例题大家要清楚几何最值理论的应用范围和应用题型，在考试碰到时即能迎刃而解。