电路的基本分析方法
3-1 支路电流法
支路电流法是线性电路最基本的分析方法。它是以支路电流作为待求变量，根据基尔霍夫电流定律（KCL）建立独立的电流方程，根据基尔霍夫电压定律（KVL）建立独立的电压方程，然后联立方程求得支路电流。
下面通过例题介绍该分析方法的具体求解过程。
例3－1 用支路电流法求解所示电路。
解：各支路电流如图所设，支路有6条，故变量有6个。
如果一个电路有n个结点，那么对于每个结点都可以列出相应的KCL方程，但是只有其中的n-1个结点的KCL方程是独立的。
本电路有4个结点，所以有3个独立的KCL方程。建立KCL方程时，选择4个结点中的任意3个即可，并假设流出结点的电流为正，流入结点的电流为负。于是有
KCL方程：结点A I1+I4+I6=0 （1）
结点B -I1+I2+I5=0 （2）
结点C -I2-I3+I6=0 （3）
因为有6个变量，故还需要三个方程方能求得支路电流。这三个方程可以通过三个回路建立三个独立的KVL方程来获得。图示电路有若干个回路，如何从中选取三个独立的回路呢？确保方程独立的充分条件是每一个回路必须至少含有一条其它回路所没有的支路。这里选回路1、2、3（如图所示）列写KVL方程，并假设压降方向与回路绕向一致时取正，反之取负。
KVL方程：回路1 R1I1 +R5I5 -R4I4=0 （4）
回路2 R2I2 -R3I3 -R5I5=0 （5）
回路3 R4I4 +R3I3 -US+R6I6=0 （6）
联立求解上述6个方程便可求得支路电流I1～I6。但需要说明的是，如果列写KVL方程时选取的回路是回路1、2、4（如图所示），则方程不独立。在选取独立回路列KVL方程时，除按前面提到的方法选取之外，按网孔建立的KVL方程也是完全独立的。
例3－2 用支路电流法求图 (a) 所示电路的电压u1和u2。
已知：R1=1Ω，R2=2Ω，R3=3Ω，us1=1V，us2=2V。
解：设支路电流i1、i2、i3如图所示。受控源2u1同独立源处理方式相同，由于电阻R3与电流源串联，故将其短路后（如图（b）所示）并不影响支路电流i1、i2、i3以及电压u1的求解。电路共有2个结点，选其中任意一个结点建立KCL方程均可，其方程为
i1-i2-i3=0 （1）
对图（b）所示的虚线回路建立KVL方程
-us1+R1i1+ us2+R2i2 =0 （2）
由于支路电流i3的数值就是受控电流源的数值，所以
i3=2u1 （3）
支路电流法未知量是支路电流，故上式中的控制量u1应转换为支路电流表示，即
u1 = us2+ R2i2 （4）
代入数据并联立方程(1)、(2)、(3)和(4)，求解得
i1=0.43A i2=-0.71A i3=1.14A u1=0.57V
但求解受控源上的电压u2时，不能延用图（b）所示的电路，应回到原电路即图（a）所示的电路中进行求解，此时
u1= -R3i3+ us2+R2i2
= -3×1.14+2+2×(-0.71)
=-2.84V
3-2 结点电压法（结点电位法）
支路电流法意味着电路有多少条支路就有多少个变量，变量多求解量大。为此需要一种既可以求解电路，而变量数或方程数又相对少的分析方法，结点电压法（有的书上称为节点电压法）即为其中之一。当电路的支路数较多，而结点数较少时，采用结点电压法分析电路最为简便。
所谓结点电压是指，任选电路的某一结点作为参考点，并假设该结点的电位为零（通常用接地符号或0表示，如图1所示），那么其它结点到该参考结点的电压就是结点电压，又称结点电位。
结点电压法又被称为结点电位法或结点法，此分析方法是将结点电压作为一组独立的求解变量，根据基尔霍夫电流定律对独立结点（通常选除参考点以外的结点）建立关于结点电压的KCL方程，联立方程即可解得结点电压。
图1所示电路共有4个结点，如选最下面的结点作为参考点（即认为该结点的电位为零），那么结点①到参考结点的电压就是结点①的结点电压，记作u1，同理结点②的结点电压为u2，结点③的结点电压为u3。结点电压的极性规定为参考结点为“－”极性，其余结点均为“＋”极性，故通常用结点电压法分析电路时不需要标注结点电压的参考极性。
对结点电压做如下几点说明：
（1） 电路中所有的量均可由结点电压表示。如
支路7的电流：
因此结点电压是一组独立的求解变量。
（2） 结点电压自动满足基尔霍夫电压定律（KVL）。如
回路1 ：-u1+ u12+ u2=0
u12= u1- u2
-u1+ u1- u2+ u2=0
所以结点电压法不能利用KVL列方程，只能根据KCL建立方程。
（3）如果一个电路有n个结点、b条支路，那么结点电压法变量的数目为（n-1），需要列的KCL方程的数目也是（n-1）个。与支路电流法对照，结点电压法比支路电流法少了b-(n-1)个变量。
下面具体介绍结点电压法的分析方法。分两种情况进行讨论。
一、路中没有不串联电阻的电压源
电路如图1所示，结点电压u1、u2、u3如图所设。建立结点①、②、③的KCL方程，并假设流出结点的电流为正，流入结点的电流为负。
对方程组（1）进行整理得：
对方程组（2）联立求解，便可求得结点电压u1、u2、u3。另外通过结点电压还可求得各支路电流、功率等物理量。
方程组（2）有一定的规律性，可通过观察直接写出来。以结点①的方程为例，其中
—— 是与结点①相联的各支路电导的总和，称为结点①的自电导，且为正。
—— 是结点①与结点②之间各支路电导之和并取其负，称其为结点①与②的互电导，为负。
——是结点①与结点③之间各支路电导之和，并取其负。
——是流入结点①的电流源之和，且流入为正，流出为负。
所以式（2）可简写为：
将式子（3）写成矩阵形式，则有
当电路中不含受控源时，不难知道有下列式子成立
例3－3 列出图所示电路的结点电压方程。
解：选结点5为参考点，结点电压分别为u1、u2、u3、u4，如图所设。根据列写结点电压方程的规律，不难得出结点电压方程为：
例3－4 电路如图所示。用结点电压法求电流I2和I3以及各电源发出的功率。
解：选参考结点如图所示，结点电压为Ua。结点a的KCL方程为
两个电压源发出的功率分别为
在求电流源发出的功率之前，先求出电流源上的电压U1。注意此时1Ω电阻不能作为多余元件去掉。
U1＝Ua＋1×0.4=2.8V
所以 P0.4A=0.4×U1＝1.12W
例3－5 用结点电压法求图所示电路的结点电压u1和u2。
解：对结点1、结点2分别建立KCL方程
由于电路中含有受控源，所以还需要增加一个关于受控源的控制量与结点电压的关系式。根据电路知
(3)
联立(1)、(2)、(3)式求解得结点电压：
u1=-10V u2=-10V
例3－6 两个实际电压源并联向三个负载供电的电路如图所示。其中R1、R2分别是两个电源的内阻， R3、R4、R5为负载，求负载两端的电压。
解：由于电路只有两个结点，所以只需要列一个结点电压方程。参考结点如图所设，结点电压为 ，其KCL方程为
象例3－6所示支路多、但结点却只有两个的电路，此时采用结点法分析电路最为简便，只需要列一个方程就可以了。其通用式子为
上式常被称为弥尔曼定理。
二、电路中有不串联电阻的电压源
电路中含有不串电阻的电压源支路的情况下，采用结点电压法建立与该支路相联的结点的KCL方程时，由于该支路的电流无法用结点电压表示，所以不能采用上面总结的有关结点电压方程的规律来列写。下面就含有不串电阻的电压源电路，通过例题介绍几种具体的求解方法。
例3－7 电路如图所示。求结点①与结点②之间的电压u12。
解法1：由于列写结点的KCL方程的实质就是流出（或流入）该结点的电流代数和为零，所以对这种电路的处理方法之一便是假设流过22V电压源的电流为i，如下图(a)所示。
那么各结点的电流方程为:
由于多了一个未知量i，所以必须再增加一个方程，即
u3- u2=22
联立4个方程求解得
u1=-4.5V u2=-15.5V u3=6.5V
所以 u12=u1-u2=11V
解法2：将22V电压源包围在封闭面内，如下图(b)所示。
结点电压仍为u1、u2和u3，但在建立KCL方程时，不再单独对结点②和结点③分别列写方程，而是建立虚线所示广义结点（又称超结点或高斯面）的KCL方程，而结点①的KCL方程不变，于是有
解法3：如果电路的参考结点可以任意选择，那么可选22V电压源的一端为参考结点，并重新标注其它结点，如下图(c)所示。
由于结点③的电压正好是电压源电压，可以认为结点③的电压已经确定，故不再列写结点③的KCL方程，只需建立结点①和结点②的KCL方程即可，故有
例3－8 用结点电压法求下图所示电路的电流I。
解：参考结点以及结点电压U1、U2、U3如图所设。结点②的电压为
U2=-4V (1)
广义结点如虚线所示。假设流出广义结点的电流为正，流入广义结点的电流为负，则广义结点的KCL方程为
3-1 支路电流法
支路电流法是线性电路最基本的分析方法。它是以支路电流作为待求变量，根据基尔霍夫电流定律（KCL）建立独立的电流方程，根据基尔霍夫电压定律（KVL）建立独立的电压方程，然后联立方程求得支路电流。
下面通过例题介绍该分析方法的具体求解过程。
例3－1 用支路电流法求解所示电路。
解：各支路电流如图所设，支路有6条，故变量有6个。
如果一个电路有n个结点，那么对于每个结点都可以列出相应的KCL方程，但是只有其中的n-1个结点的KCL方程是独立的。
本电路有4个结点，所以有3个独立的KCL方程。建立KCL方程时，选择4个结点中的任意3个即可，并假设流出结点的电流为正，流入结点的电流为负。于是有
KCL方程：结点A I1+I4+I6=0 （1）
结点B -I1+I2+I5=0 （2）
结点C -I2-I3+I6=0 （3）
因为有6个变量，故还需要三个方程方能求得支路电流。这三个方程可以通过三个回路建立三个独立的KVL方程来获得。图示电路有若干个回路，如何从中选取三个独立的回路呢？确保方程独立的充分条件是每一个回路必须至少含有一条其它回路所没有的支路。这里选回路1、2、3（如图所示）列写KVL方程，并假设压降方向与回路绕向一致时取正，反之取负。
KVL方程：回路1 R1I1 +R5I5 -R4I4=0 （4）
回路2 R2I2 -R3I3 -R5I5=0 （5）
回路3 R4I4 +R3I3 -US+R6I6=0 （6）
联立求解上述6个方程便可求得支路电流I1～I6。但需要说明的是，如果列写KVL方程时选取的回路是回路1、2、4（如图所示），则方程不独立。在选取独立回路列KVL方程时，除按前面提到的方法选取之外，按网孔建立的KVL方程也是完全独立的。
例3－2 用支路电流法求图 (a) 所示电路的电压u1和u2。
已知：R1=1Ω，R2=2Ω，R3=3Ω，us1=1V，us2=2V。
解：设支路电流i1、i2、i3如图所示。受控源2u1同独立源处理方式相同，由于电阻R3与电流源串联，故将其短路后（如图（b）所示）并不影响支路电流i1、i2、i3以及电压u1的求解。电路共有2个结点，选其中任意一个结点建立KCL方程均可，其方程为
i1-i2-i3=0 （1）
对图（b）所示的虚线回路建立KVL方程
-us1+R1i1+ us2+R2i2 =0 （2）
由于支路电流i3的数值就是受控电流源的数值，所以
i3=2u1 （3）
支路电流法未知量是支路电流，故上式中的控制量u1应转换为支路电流表示，即
u1 = us2+ R2i2 （4）
代入数据并联立方程(1)、(2)、(3)和(4)，求解得
i1=0.43A i2=-0.71A i3=1.14A u1=0.57V
但求解受控源上的电压u2时，不能延用图（b）所示的电路，应回到原电路即图（a）所示的电路中进行求解，此时
u1= -R3i3+ us2+R2i2
= -3×1.14+2+2×(-0.71)
=-2.84V
3-2 结点电压法（结点电位法）
支路电流法意味着电路有多少条支路就有多少个变量，变量多求解量大。为此需要一种既可以求解电路，而变量数或方程数又相对少的分析方法，结点电压法（有的书上称为节点电压法）即为其中之一。当电路的支路数较多，而结点数较少时，采用结点电压法分析电路最为简便。
所谓结点电压是指，任选电路的某一结点作为参考点，并假设该结点的电位为零（通常用接地符号或0表示，如图1所示），那么其它结点到该参考结点的电压就是结点电压，又称结点电位。
结点电压法又被称为结点电位法或结点法，此分析方法是将结点电压作为一组独立的求解变量，根据基尔霍夫电流定律对独立结点（通常选除参考点以外的结点）建立关于结点电压的KCL方程，联立方程即可解得结点电压。
图1所示电路共有4个结点，如选最下面的结点作为参考点（即认为该结点的电位为零），那么结点①到参考结点的电压就是结点①的结点电压，记作u1，同理结点②的结点电压为u2，结点③的结点电压为u3。结点电压的极性规定为参考结点为“－”极性，其余结点均为“＋”极性，故通常用结点电压法分析电路时不需要标注结点电压的参考极性。
对结点电压做如下几点说明：
（1） 电路中所有的量均可由结点电压表示。如
支路7的电流：
因此结点电压是一组独立的求解变量。
（2） 结点电压自动满足基尔霍夫电压定律（KVL）。如
回路1 ：-u1+ u12+ u2=0
u12= u1- u2
-u1+ u1- u2+ u2=0
所以结点电压法不能利用KVL列方程，只能根据KCL建立方程。
（3）如果一个电路有n个结点、b条支路，那么结点电压法变量的数目为（n-1），需要列的KCL方程的数目也是（n-1）个。与支路电流法对照，结点电压法比支路电流法少了b-(n-1)个变量。
下面具体介绍结点电压法的分析方法。分两种情况进行讨论。
一、路中没有不串联电阻的电压源
电路如图1所示，结点电压u1、u2、u3如图所设。建立结点①、②、③的KCL方程，并假设流出结点的电流为正，流入结点的电流为负。
对方程组（1）进行整理得：
对方程组（2）联立求解，便可求得结点电压u1、u2、u3。另外通过结点电压还可求得各支路电流、功率等物理量。
方程组（2）有一定的规律性，可通过观察直接写出来。以结点①的方程为例，其中
—— 是与结点①相联的各支路电导的总和，称为结点①的自电导，且为正。
—— 是结点①与结点②之间各支路电导之和并取其负，称其为结点①与②的互电导，为负。
——是结点①与结点③之间各支路电导之和，并取其负。
——是流入结点①的电流源之和，且流入为正，流出为负。
所以式（2）可简写为：
将式子（3）写成矩阵形式，则有
当电路中不含受控源时，不难知道有下列式子成立
例3－3 列出图所示电路的结点电压方程。
解：选结点5为参考点，结点电压分别为u1、u2、u3、u4，如图所设。根据列写结点电压方程的规律，不难得出结点电压方程为：
例3－4 电路如图所示。用结点电压法求电流I2和I3以及各电源发出的功率。
解：选参考结点如图所示，结点电压为Ua。结点a的KCL方程为
两个电压源发出的功率分别为
在求电流源发出的功率之前，先求出电流源上的电压U1。注意此时1Ω电阻不能作为多余元件去掉。
U1＝Ua＋1×0.4=2.8V
所以 P0.4A=0.4×U1＝1.12W
例3－5 用结点电压法求图所示电路的结点电压u1和u2。
解：对结点1、结点2分别建立KCL方程
由于电路中含有受控源，所以还需要增加一个关于受控源的控制量与结点电压的关系式。根据电路知
(3)
联立(1)、(2)、(3)式求解得结点电压：
u1=-10V u2=-10V
例3－6 两个实际电压源并联向三个负载供电的电路如图所示。其中R1、R2分别是两个电源的内阻， R3、R4、R5为负载，求负载两端的电压。
解：由于电路只有两个结点，所以只需要列一个结点电压方程。参考结点如图所设，结点电压为 ，其KCL方程为
象例3－6所示支路多、但结点却只有两个的电路，此时采用结点法分析电路最为简便，只需要列一个方程就可以了。其通用式子为
上式常被称为弥尔曼定理。
二、电路中有不串联电阻的电压源
电路中含有不串电阻的电压源支路的情况下，采用结点电压法建立与该支路相联的结点的KCL方程时，由于该支路的电流无法用结点电压表示，所以不能采用上面总结的有关结点电压方程的规律来列写。下面就含有不串电阻的电压源电路，通过例题介绍几种具体的求解方法。
例3－7 电路如图所示。求结点①与结点②之间的电压u12。
解法1：由于列写结点的KCL方程的实质就是流出（或流入）该结点的电流代数和为零，所以对这种电路的处理方法之一便是假设流过22V电压源的电流为i，如下图(a)所示。
那么各结点的电流方程为:
由于多了一个未知量i，所以必须再增加一个方程，即
u3- u2=22
联立4个方程求解得
u1=-4.5V u2=-15.5V u3=6.5V
所以 u12=u1-u2=11V
解法2：将22V电压源包围在封闭面内，如下图(b)所示。
结点电压仍为u1、u2和u3，但在建立KCL方程时，不再单独对结点②和结点③分别列写方程，而是建立虚线所示广义结点（又称超结点或高斯面）的KCL方程，而结点①的KCL方程不变，于是有
解法3：如果电路的参考结点可以任意选择，那么可选22V电压源的一端为参考结点，并重新标注其它结点，如下图(c)所示。
由于结点③的电压正好是电压源电压，可以认为结点③的电压已经确定，故不再列写结点③的KCL方程，只需建立结点①和结点②的KCL方程即可，故有
例3－8 用结点电压法求下图所示电路的电流I。
解：参考结点以及结点电压U1、U2、U3如图所设。结点②的电压为
U2=-4V (1)
广义结点如虚线所示。假设流出广义结点的电流为正，流入广义结点的电流为负，则广义结点的KCL方程为
六、 楷书
楷书经过200多年的发展、演变，到了汉末魏初由东汉王次仲所创，而三国时期魏国的钟繇堪称是中国历史上第一个楷书书法家。著名的楷书四大家，他们分别指的是:唐朝欧阳询(欧体)、唐朝颜真卿(颜体)、唐朝柳公权(柳体)、元朝赵孟頫(赵体)。
七、 行书
行书是介于楷书与草书之间的一种书体。它起始于晋代，至今通行。东晋书圣王羲之的《兰亭序》是行书的巅峰之作，堪称天下第一行书，颜真卿的《祭侄文稿》是天下第二行书，苏轼的《黄州寒食帖》为天下第三行书。
八、草书
草书沿袭多种古文字变化而成，形成于汉代。“草书”尤其是狂草写出来之后大家都难以辨识，所以它只能作为人们欣赏的艺术作品。
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