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串联电路的谐振
谐振是正弦电路在特定条件下所产生的一种特殊物理现象，谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛应用，对电路中谐振现象的研究有重要的实际意义。
1. 谐振的定义
含有 R、L、C 的一端口电路，外施正弦激励，在特定条件下出现端口电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。因此谐振电路的端口电压、电流满足：
2. 串联谐振的条件
图 8.27
图 8.27 所示的 R、L、C 串联电路发生谐振时称串联谐振。电路的输入阻抗为：
根据谐振定义，当时电路发生谐振，由此得 R、L、C 串联电路的谐振条件是
谐振角频率为：， 谐振频率为：
上式说明R、L、C串联电路的谐振频率仅由电路的参数决定，因此谐振频率又称固有频率。
由谐振条件得串联电路实现谐振或避免谐振的方式为：
（1） L、C 不变，改变 ω 达到谐振。
（2） 电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变 C ) 达到谐振。
3. R、L、C 串联电路谐振时的特点
（1）谐振时电路端口电压 和端口电流 同相位；
（2）谐振时入端阻抗 Z = R 为纯电阻，图9.28为复平面上表示的|Z|随ω 变化的图形，可以看出谐振时抗值 |Z| 最小，因此电路中的电流达到最大。
图 8.28
（3）谐振时电感电压和电容电压分别为：
上式表明L、C上的电压大小相等，相位相反，如图8.29所示，串联总电压，LC 相当于短路，所以串联谐振也称电压谐振，此时电源电压全部加在电阻上，即。
图 8.29
（4）谐振时出现过电压现象
电感电压和电容电压表示式中的 Q 称为品质因数，有
如果Q＞1，则有当Q ＞＞1时，电感和电容两端出现大大高于电源电压 U 的高电压，称为过电压现象。
（5） 谐振时的功率
有功功率为： P = UIcosφ＝ UI
即电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。
无功功率为：
其中
即电源不向电路输送无功，电感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。如图 8.30 所示。
图 8.30
（6）谐振时的能量关系
设电源电压
则电流
电容电压
电容储能
电感储能
以上表明：
1）电感和电容能量按正弦规律变化，且最大值相等，即 WLm = WCm 。L、C 的电场能量和磁场能量作周期振荡性的能量交换，而不与电源进行能量交换。
2）总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值，即
电感、电容储能的总值与品质因数的关系为：
即品质因数 Q 是反映谐振回路中电磁振荡程度的量，品质因数越大，总的能量就越大，维持一定量的振荡所消耗的能量愈小，振荡程度就越剧烈。则振荡电路的“品质”愈好。一般应用于谐振状态的电路希望尽可能提高 Q 值。
4. RLC 串联谐振电路的谐振曲线和选择性
物理量与频率关系的图形称谐振曲线，研究谐振曲线可以加深对谐振现象的认识。
（1）阻抗的频率特性
串联阻抗
其中（阻抗幅频特性）
（阻抗相频特性）
图 8.31（a）给出了阻抗幅频特性曲线，（b）给出了阻抗相频特性曲线。
图 8.31 （a） （b）
（2）电流谐振曲线
（3）电流幅值与频率的关系为：
得电流谐振曲线如图 8.32 所示。
从电流谐振曲线看出谐振时电流达到最大，当ω 偏离ω0 时，电流从最大值 U/R 下降，即：串联谐振电路对不同频率的信号有不同的响应，对谐振信号最突出(表现为电流最大)，而对远离谐振频率的信号加以抑制(电流小)。这种对不同输入信号的选择能力称为“选择性”。
如图 8.32
为了不同谐振回路之间进行比较，把电流谐振曲线的横、纵坐标分别除以ω0和I(ω0)，即
得
所以
由上式得通用谐振曲线如图8.33所示。显然Q 越大，谐振曲线越尖。当稍微偏离谐振点时，曲线就急剧下降，电路对非谐振频率下的电流具有较强的抑制能力，所以选择性好。因此，Q是反映谐振电路性质的一个重要指标。
根据声学研究，如信号功率不低于原有最大值一半，人的听觉辨别不出。
图 8.33
在通用谐振曲线 处作一水平线，与每一谐振曲线交于两点，对应横坐标分别为，称半功率点，有
把 称为通频带，通频带规定了谐振电路允许通过信号的频率范围。是比较和设计谐振电路的指标。可以证明 Q 与通频带的关系为：
（3） UL(ω) 与 UC(ω) 的频率特性
因为
它们的曲线如图 8.34 所示。
可以证明当时，UL(ω)与UC(ω)获最大值，峰值的频率为：
峰值为
Q 越高，峰值频率越靠近谐振频率。
图 8.34
例8-18 某收音机的输入回路如图所示， L =0.3mH ， R =10 W ，为收到中央电台 560kHz 信号，求
（1）调谐电容 C 值；
（2）如输入电压为 1.5 mV ，求谐振电流和此时的电容电压。
附 2020年国内国际时政资料供参考：
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串联电路的谐振
谐振是正弦电路在特定条件下所产生的一种特殊物理现象，谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛应用，对电路中谐振现象的研究有重要的实际意义。
1. 谐振的定义
含有 R、L、C 的一端口电路，外施正弦激励，在特定条件下出现端口电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。因此谐振电路的端口电压、电流满足：
2. 串联谐振的条件
图 8.27
图 8.27 所示的 R、L、C 串联电路发生谐振时称串联谐振。电路的输入阻抗为：
根据谐振定义，当时电路发生谐振，由此得 R、L、C 串联电路的谐振条件是
谐振角频率为：， 谐振频率为：
上式说明R、L、C串联电路的谐振频率仅由电路的参数决定，因此谐振频率又称固有频率。
由谐振条件得串联电路实现谐振或避免谐振的方式为：
（1） L、C 不变，改变 ω 达到谐振。
（2） 电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变 C ) 达到谐振。
3. R、L、C 串联电路谐振时的特点
（1）谐振时电路端口电压 和端口电流 同相位；
（2）谐振时入端阻抗 Z = R 为纯电阻，图9.28为复平面上表示的|Z|随ω 变化的图形，可以看出谐振时抗值 |Z| 最小，因此电路中的电流达到最大。
图 8.28
（3）谐振时电感电压和电容电压分别为：
上式表明L、C上的电压大小相等，相位相反，如图8.29所示，串联总电压，LC 相当于短路，所以串联谐振也称电压谐振，此时电源电压全部加在电阻上，即。
图 8.29
（4）谐振时出现过电压现象
电感电压和电容电压表示式中的 Q 称为品质因数，有
如果Q＞1，则有当Q ＞＞1时，电感和电容两端出现大大高于电源电压 U 的高电压，称为过电压现象。
（5） 谐振时的功率
有功功率为： P = UIcosφ＝ UI
即电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。
无功功率为：
其中
即电源不向电路输送无功，电感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。如图 8.30 所示。
图 8.30
（6）谐振时的能量关系
设电源电压
则电流
电容电压
电容储能
电感储能
以上表明：
1）电感和电容能量按正弦规律变化，且最大值相等，即 WLm = WCm 。L、C 的电场能量和磁场能量作周期振荡性的能量交换，而不与电源进行能量交换。
2）总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值，即
电感、电容储能的总值与品质因数的关系为：
即品质因数 Q 是反映谐振回路中电磁振荡程度的量，品质因数越大，总的能量就越大，维持一定量的振荡所消耗的能量愈小，振荡程度就越剧烈。则振荡电路的“品质”愈好。一般应用于谐振状态的电路希望尽可能提高 Q 值。
4. RLC 串联谐振电路的谐振曲线和选择性
物理量与频率关系的图形称谐振曲线，研究谐振曲线可以加深对谐振现象的认识。
（1）阻抗的频率特性
串联阻抗
其中（阻抗幅频特性）
（阻抗相频特性）
图 8.31（a）给出了阻抗幅频特性曲线，（b）给出了阻抗相频特性曲线。
图 8.31 （a） （b）
（2）电流谐振曲线
（3）电流幅值与频率的关系为：
得电流谐振曲线如图 8.32 所示。
从电流谐振曲线看出谐振时电流达到最大，当ω 偏离ω0 时，电流从最大值 U/R 下降，即：串联谐振电路对不同频率的信号有不同的响应，对谐振信号最突出(表现为电流最大)，而对远离谐振频率的信号加以抑制(电流小)。这种对不同输入信号的选择能力称为“选择性”。
如图 8.32
为了不同谐振回路之间进行比较，把电流谐振曲线的横、纵坐标分别除以ω0和I(ω0)，即
得
所以
由上式得通用谐振曲线如图8.33所示。显然Q 越大，谐振曲线越尖。当稍微偏离谐振点时，曲线就急剧下降，电路对非谐振频率下的电流具有较强的抑制能力，所以选择性好。因此，Q是反映谐振电路性质的一个重要指标。
根据声学研究，如信号功率不低于原有最大值一半，人的听觉辨别不出。
图 8.33
在通用谐振曲线 处作一水平线，与每一谐振曲线交于两点，对应横坐标分别为，称半功率点，有
把 称为通频带，通频带规定了谐振电路允许通过信号的频率范围。是比较和设计谐振电路的指标。可以证明 Q 与通频带的关系为：
（3） UL(ω) 与 UC(ω) 的频率特性
因为
它们的曲线如图 8.34 所示。
可以证明当时，UL(ω)与UC(ω)获最大值，峰值的频率为：
峰值为
Q 越高，峰值频率越靠近谐振频率。
图 8.34
例8-18 某收音机的输入回路如图所示， L =0.3mH ， R =10 W ，为收到中央电台 560kHz 信号，求
（1）调谐电容 C 值；
（2）如输入电压为 1.5 mV ，求谐振电流和此时的电容电压。
附 2020年国内国际时政资料供参考：
【背景介绍】
“本人涉嫌店外经营,已承认错误,积极整改。瓯海区综合行政执法局念是初犯,借本人朋友圈向大家宣传:请勿店外经营,保持城市环境”--8月19日,温州瓯海区综合行政执法局对一起商户店外经营行为采取“集赞减罚”,商家在朋友圈发消息并集齐20个赞后可减轻处罚。
【命题预测】
“集赞减罚”针对的是情节轻微,主动配合完成整改的市容类违法行为初犯当事人,可减少10%-50%的罚金。此项举措一经推出,便引起了社会关注,有人给与高度评价,也有人质疑,认为有失法度尊严。你怎么看?
【题目解析】
1、表态：这是一项措施新颖、效果良好的政策,值得推广。“集赞减罚”有一定的市场,受到一些地方的推崇。“集赞减罚”是“柔性执法”的体现在执法过程中,在保证不违反公平正义前提下,兼顾法理与人情的“桑性执法”,逐渐成为共识。
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