湖南教师招聘考试中学数学模拟试题及答案解析

 专业基础知识部分

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

1.下列运算中，正确的是()。

A.x2+x2=x4B.x2÷x=x2

C.x3-x2=xD.x·x2=x3

2.在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()。

3.下图是某一几何体的三视图，则这个几何体是()。

A.圆柱体B.圆锥体

C.正方体D.球体

4.9的平方根是()。

A.3B.±3

C.-3D.81

5.如图，圆锥形烟囱帽的底面直径为80cm，母线长为50cm，则这样的烟囱帽的侧面积是()。

A.4 000πcm2

B.3 600πcm2

C.2 000πcm2

D.1 000πcm2

6.设集合M={直线｝，P={圆｝，则集合M∩P中的元素的个数为()

A.0B.1

C.2D.0或1或2

7.若sinα>tanα>cotα(-π4<α<π2)，则α∈()

A.(-π2，-π4)B.(-π4，0)

C.(0，π4)D.(π4，π2)

8.如果奇函数f(x) 在[3，7]上是增函数且小值为5，那么f(x)在区间[-7，-3]上是()

A.增函数且小值为-5B.减函数且小值是-5

C.增函数且值为-5D.减函数且值是-5

9.如果实数x、y满足等式(x-2)2+y2=3，那么yx的值是()

A.12B.33

C.32D.3

10.设球的半径为R, P、Q是球面上北纬60°圈上的两点，这两点在纬度圈上的劣弧的长是πR2，则这两点的球面距离是()

A.3RB.2πR2

C.πR3D.πR2

二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

11.已知：|x|=5，y=3，则x-y=。

12.计算：2aa2-9-1a-3=。

13.如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，如果∠EOD=42°，则∠AOC=。

14.将5个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有。

15.一个几何体的三视图如图所示：其中，正视图中△ABC的边长是2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为。

三、解答题(本大题共5小题，共35分)

16.(本小题满分5分)已知关于x的一元二次方程x2-2x-a=0。

(1)如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围;

(2)如果此方程的两个实数根为x1、x2，且满足1x1+1x2=-23，求a的值。

17.(本小题满分5分)

如图所示，⊙O的直径AB=4，点P是AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC。

(1)若∠CPA=30°，求PC的长;

(2)若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M。你认为∠CMP的大小是否发生变化?若变化，请说明理由;若不变化，请求出∠CMP的值。

18.(本小题满分5分)

下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷准备用12 000元购买15张下表中球类比赛的门票：

比赛项目票价(元/场)

男篮1 000

足球800

乒乓球500

(1)若全部资金用来购买男篮门票和乒乓球门票，问这个球迷可以购买男篮门票和乒乓球门票各多少张?

(2)若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，这个球迷想购买上表中三种球类门票，其中足球门票与乒乓球门票数相同，且足球门票的费用不超过男篮门票的费用，问可以购买这三种球类门票各多少张?

19.(本小题满分10分)

一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m。

(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，求抛物线的解析式;

(2)求支柱的长度;

(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说明你的理由。

20.(本小题满分10分)

如图①，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4。

(1)在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标;

(2)如图②，若AE上有一动点P(不与A、E重合)自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒(0 　　

(3)在(2)的条件下，当t为何值时，以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标。

【参考答案及解析】

一、选择题

1.D 【解析】考查同底数幂相乘。

2.C 【解析】略。

3.A 【解析】略。

4.B 【解析】略。

5.C 【解析】展开后，扇形弧长为80π,扇形面积为12lR=12×50×80π=2 000πcm2。

6.A 【解析】M、P表示元素分别为直线和圆的两个集合，它们没有公共元素。故选A。

7.B 【解析】因-π4<α<π2，取α=-π6代入sinα>tanα>cotα，满足条件式，则排除A、C、D，故选B。

8.C 【解析】构造特殊函数f(x)=53x，显然满足题设条件，并易知f(x)在区间[-7，-3]上是增函数，且值为f(-3)=-5，故选C。

9.D 【解析】题中yx可写成y-0x-0。联想数学模型：过两点的直线的斜率公式k=y2-y1x2-x1，可将问题看成圆(x-2)2+y2=3上的点与坐标原点O连线的斜率的值，即得D。

10.C 【解析】因纬线弧长>球面距离>直线距离，排除A、B、D，故选C。

二、填空题

11.2或-8

【解析】略。

12.1a+3

【解析】略。

13.48°

【解析】略。

14.25种

【解析】C15C44+C25C33+C35C22=25

15.32

【解析】h=3,a=1,V=13Sh=13×34×1×6×3=32

三、解答题

16.解：(1)△=(-2)2-4×1×(-a)=4+4a

∵方程有两个不相等的实数根。∴△>0

即a>-1

(2)由题意得：x1+x2=2,x1·x2=-a

∵1x1+1x2=x1+x2x1x2=2-a,1x1+1x2=-23

∴2-a=-23∴a=3

17.解：(1)连接OC

由AB=4，得OC=2，在Rt△OPC中，∠CPO=30°，得PC=23

(2)不变

∠CMP=∠CAP+∠MPA=12∠COP+12∠CPA=12×90°=45°

18.解：(1)设购买男篮门票x张，则乒乓球门票(15-x)张,得：1 000x+500(15-x)=12 000，解得：x=9

∴15-x=15-9=6

(2)设足球门票与乒乓球门票数都购买y张，则男篮门票数为(15-2y)张，得：

800y+500y+1 000(15-2y)≤12 000

800y≤1 000(15-2y)

解得：427≤y≤5514。由y为正整数可得y=515-2y=5

因而，可以购买这三种门票各5张。

19.解：(1)根据题目条件，A、B、C的坐标分别是(-10，0)(10，0)(0，6)

设抛物线的解析式为y=ax2+c

将B、C的坐标代入y=ax2+c，得6=c0=100a+c

解得a=-350,c=6

所以抛物线的表达式是y=-350x2+6。

(2)可设F(5，yF)，于是yF=-350×52+6=4.5

从而支柱MN的长度是10-4.5=5.5米。

(3)设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和，则G点坐标是(7，0)。

过G点作GH垂直AB交抛物线于H，则yH=-350×72+6≈3.06>3

根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的3辆汽车。

20.解：(1)依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，

∴在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4

∴BE=AE2-AB2=52-42=3。∴CE=2

∴E点坐标为(2，4)。

在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，又∵DE=OD

∴(4-OD)2+22=OD2。解得：CD=52

∴D点坐标为(0，52)

(2)如图①∵PM∥ED，∴△APM∽△AED。

∴PMED=APAE，又知AP=t，ED=52，AE=5

∴PM=t5×52=t2，又∵PE=5-t，

而显然四边形PMNE为矩形，

∴S矩形PMNE=PM·PE=t2×(5-t)=-12t2+52t

∴S四边形PMNE=-12t-522+258，又∵0<52<5

∴当t=52时，S矩形PMNE有值258。

(3)①若以AE为等腰三角形的底，则ME=MA(如图②)。

在Rt△AED中，ME=MA，∵PM⊥AE，∴P为AE的中点，

∴t=AP=12AE=52

又∵PM∥ED，∴M为AD的中点。

过点M作MF⊥OA，垂足为F，则MF是△OAD的中位线，

∴MF=12OD=54，OF=12OA=52

∴当t=52时，0<52<5△AME为等腰三角形。

此时M点坐标为52,54。

②若以AE为等腰三角形的腰，则AM=AE=5(如图③)

在Rt△AOD中，AD=OD2+AO2=522+52=525

过点M作MF⊥OA，垂足为F。

∵PM∥ED∴△APM∽△AED∴APAE=AMAD

∴t=AP=AM·AEAD=5×5525=25，∴PM=12t=5

∴MF=MP=5，OF=OA-AF=OA-AP=5-25

∴当t=25时，(0<25<5)，此时M点坐标为(5-25,5)。

综合①②可知，t=52或t=25时，以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形，相应M点的坐标为52，54或(5-25，5)。