数量关系：排列组合之隔板模型

虽然排列组合是数量关系中的重难点题型，但是排列组合的很多考点都可以从题型特征上加以区分，找对对应方法让题目简化。其中，隔板模型题型特征突出，方法简单，容易掌握，应重点学习理解。

题型特征：m个相同元素分给n个不同对象，每个对象至少分得一个元素。

隔板模型解题思路：以“m个相同元素分给n个不同对象，每个对象至少分得一个元素”为模型分析。由于是相同元素，所以这些元素怎么排列都只有一种情况;要分给n个对象，只需要隔n-1个板即可;由于隔板的位置只能放在元素中间的不同空隙中才能保证每个对象至少分得一个元素，而m个元素中间形成m-1个空隙;所以从m-1个空隙中选择n-1个来隔板，隔板顺序没有要求，有C(n-1,m-1)种不同情况。

如果题目条件有其他变化，比如没有限制每个对象至少分得一个元素等，我们相应地转化为满足题型特征的模型。

例1.10个相同元素，分给4个不同对象，每个对象至少分得一个元素，则有多少种不同分法?

A.72 B.84 C.210 D.504

【答案】B。解析：题干完全符合同素分堆题型的特征，10个相同元素中间形成9个不同空隙，分给4个不同对象需要隔3个板，所以有C(3,9)=(9*8*7)/(3*2*1)=84种不同分法。

例2.某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法?

A.7 B.9 C.10 D.12

【答案】C。解析：题干中“每个部门至少发放9份学习材料”与模型中“每个对象至少分得一个元素”不同，所以要转化成模型中的条件。每个部门至少9份=每个部门8份+每个部门至少1份。所以先每个部分分8份，共分了24份，元素相同，所以只有一种分法。剩余6份，此时再分的时候满足每个部门至少一份即可。转化为“6份学习材料分给3个部门，每个部门至少1份学习材料”，有 C(3-1,5-1)=C(2,5)=10种不同分法。两个步骤情况数相乘1*10=10，所以一共有10种情况。

例3.将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的放法?

A.190 B.231 C.680 D.1140

【答案】B。解析：题干中“允许盒子为空”与模型中“每个对象至少分得一个元素”不同，所以要转化成模型中的条件。允许盒子为空的意思是每个盒子至少0个，每盒至少0个=每盒至少1个+每盒减1个;每盒减1个，共减了3个，要保证减之后总数还是20个，那减之前总数就要23个。转化为“23个相同小球放入3个盒子，每个盒子至少1个小球”，共有 C(3-1,23-1)=C(2,22)=(22*21)/(2*1)=231种不同放法。两个步骤，总情况数为1*231=231。

以上三个例题是同素分堆常见的三种题型：基本模型、每个对象至少2个(及以上)、每个对象至少0个。这三种题型都可以用隔板模型的思路解决，最终的目的都是转化为基本模型计算。大家加强练习，并多思考题型之间的差别与特点，才能真正提升能力。