弄懂中国剩余定理

在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”该问题一般称为“中国剩余定理”。把这个问题转化为数学语言即：有一个数除以3余2、除以5余3、除以7余2，问这个数是多少?在行测的考试中，也经常会有一些关于余数类型的题目，下面我们一起来看一下这种类型的题目到底该如何解答。

余数的基本知识：被除数÷除数=商……余数

一、中国剩余定理的基本模型

一个数除以a余x，除以b余y，除以c余z，求满足该条件的最小数。

二、中国剩余定理解题思路

(1)余同加余：如果多个除式的被除数相同，余数相同，那么这个被除数等于多个除数的公倍数加上余数。

如M÷5余1，M÷6余1，则M=30n+1，其中30是5和6的最小公倍数，n为自然数。

(2)和同加和：如果多个除式的被除数相同，除数和余数的和相同，那么这个被除数等于多个除数的公倍数加上除数和余数的和。

如M÷5余2，M÷6余1，则M=30n+7，其中30是5和6的最小公倍数，n为自然数。

(3)差同减差：如果多个除式的被除数相同，除数和余数的差相同，那么这个被除数等于多个除数的公倍数减去除数和余数的差。

如M÷5余2，M÷6余3，则M=30n-3，其中30是5和6的最小公倍数，n为自然数。

(4)其他情况：逐步满足

先满足一个条件，再满足另一个条件，直到所有条件都满足。

例题1：韩信带1500名兵士打仗，战死四五百人，清点士兵时，士兵站3人一排，多出2人;站5人一排，多出4人;站7人一排，多出6人。韩信马上说出了人数，问士兵有多少人?

这就是一道比较典型的关于中国剩余定理的题目，M÷3余2，÷5余4，÷7余6，根据刚才给出的解题思路，这道题属于“差同减差”的情况，用多个除数的公倍数减去除数和余数的差故M=105n-1，又1000

我们一起回到最开始的文章中提到的《孙子算经》中的那个问题，有一个数除以3余2、除以5余3、除以7余2，问这个数是多少?先观察这三个除式，除以3余2与除以7余2，属于余同的情况，根据“余同加余”，那么M=21n+2，当n=1时，M=23，这时也满足除以5余3。故这个数为23