错位重排问题

一、错位重排问题通常形式

编号为1、2、……、n的n封信，装入编号为1、2、……、n的n个信封，要求每封信和信封的编号不同，有多少种装法?

对于这种问题，有一个固定的递推公式，记n封信的错位重排数为Dn，递推公式如下：

D1=0，D2=1，Dn=(n-1)(Dn-2+Dn-1)

由递推公式可得，D3=(3-1)×(0+1)=2，D4=(4-1)×(1+2)=9，D5=(5-1)x(2+9)=44。

一般考试中只考查n=3、4、5的情况，所以记住D3=2,D4=9，D5=44就可以快速求解出正确答案。

二、模拟练习题

甲、乙、丙、丁四个同学排成一排，从左往右数，如果甲不排在第一个位置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法共有多少种?

A.9

B.11

C.14

D.6

正确答案：A

解析：将甲、乙、丙、丁四个同学分别看成一、二、三、四，则该题可理解为学生的排号与位置的排号不同，即n=4的错位重排问题。已知D4=9，所以本题答案选A。