湖南事业单位考试行测答题技巧：巧用等差数列中项公式解逆向极值问题（一）

 

　　下面我们就为大家讲解一下和定最值问题当中一种常见的题型，逆向极值问题。

 

　　和定最值的题型往往指的是给出一个固定的总量，求其中一个部分的最大最小值。而逆向极值问题往往是求最大量的最小值或者是求最小量的最大值，这类的题目我们就称之为逆向极值问题。

 

　　例如：有三个人，兜里共有270元钱，已知三个人兜里的钱数都是整数，且各不相同，都不超过100元，问兜里钱数最多的人兜里最少有多少钱?

 

　　对于这道题就属于逆向极值问题，题目中兜里共有270元钱相当于已知三个人的总和，题中要求兜里钱数最多的人最少有多少钱，相当于求最大量的最小值，属于和定最值问题。在学习基础知识的过程中我们知道和定最值的问题常见的解题思想叫极限转化思想，也就是逆向求极值，题目中想要求一个量的最大最小值如果不好求的话就反着考虑，先求它补集的最小最大值，用全集减去它补集的最小最大值得到的就是它的最大最小值。那么接下来我们就用这种逆向求极值的思想来解一下上面这道例题。

 

　　如果想求最大量的最小值，则需要让其他量尽可能取到最大值，当最大量取到最小值且其他量取到最大值的时候即三者之间的数量关系从大到小应该依次为x，x-1，x-2。二者三者的加和即为270元，可得方程：x+x-1+x-2=270元，解x=91元，则兜里钱数最多的人兜里最少有91元钱。

 

　　以上即为我们用方程思想求解的逆向极值问题。对于刚刚的解题过程当中我们细细观察不难发现，当最大量取到最小值且其他量取到最大值的时候三者数量之间相差的都是1，即组成了一个以1为公差的等差数列。等差数列求和公式中有一个公式非常重要，就是中项法求和公式，这是计算量最小的一个公式了。那么对于逆向极值问题我们也是可以同样使用中项法求和公式进行求解的。仍然以上面例题为例，三项组成一个公差为1的等差数列，这个数列的前三项和为Sn=270=中项*3，故可得中项(即第二多的人)为90元，按照公差为1去构造其他量，则最大量应该为91，最小量应该为89。因此此题可以求解。

 

　　等差数列求解逆向极值问题是一种特别快捷的方法，大家课后一定要勤加练习争取熟练使用，我们后期课程中也会继续讲解用等差数列思想解逆向极值问题。