2019年成人高考高起点数学(文)难点系统解析三

难点3  运用向量法解题

 

平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题.

●难点磁场

(★★★★★)三角形ABC中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)，求：(1)BC边上的中线

AM的长；(2)∠CAB的平分线AD的长；(3)cosABC的值.

●案例探究

［例1］如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.

(1)求证：C1C⊥BD.

(2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.

命题意图：本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力.

知识依托：解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单.

错解分析：本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系.

技巧与方法：利用a⊥ba·b=0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可.

(1)证明：设=a, =b,=c,依题意，|a|=|b|，、、中两两所成夹角为θ，于是=a－b，=c(a－b)=c·a－c·b=|c|·|a|cosθ－|c|·|b|cosθ=0,∴C1C⊥BD.

(2)解：若使A1C⊥平面C1BD，只须证A1C⊥BD，A1C⊥DC1，

由

=(a+b+c)·(a－c)=|a|2+a·b－b·c－|c|2=|a|2－|c|2+|b|·|a|cosθ－|b|·|c|·cosθ=0,得

当|a|=|c|时，A1C⊥DC1，同理可证当|a|=|c|时，A1C⊥BD，

∴=1时，A1C⊥平面C1BD.

［例2］如图，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.

(1)求的长；

(2)求cos<>的值；

(3)求证：A1B⊥C1M.

命题意图：本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题.属

★★★★级题目.

知识依托：解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系O－xyz,进而找到点的坐标和求出向量的坐标.

错解分析：本题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标.

技巧与方法：可以先找到底面坐标面xOy内的A、B、C点坐标，然后利用向量的模及方向来找出其他的点的坐标.

(1)解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系O－xyz.

依题意得：B(0，1，0)，N(1，0，1)

∴||=.

(2)解：依题意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2).

∴==(0，1，2)

=1×0+(－1)×1+2×2=3

||=





(3)证明：依题意得：C1(0，0，2)，M()



∴

∴A1B⊥C1M.