湖南公务员考试有关约数的几个问题

公务员考试中的数学运算部分经常考到有关约数的问题。约数的定义和基本性质比较简单。涉及到约数的问题归纳起来有以下几个方面：

（1）考察自然数约数的个数。

（2）考察自然数约数个数的基本性质：非平方数的自然数其约数成对出现，平方数的约数个数为奇数。

（3）考察多个自然数的乘积中所包含的某一因子的个数。这几类题目的难度不大，但需掌握合适的方法才能达到快速准确解题的目的。

以下结合几个例子加以说明。

例1：16200共有多少个正约数。

若此题是求12之类较小自然数的正约数，则只需进行简单罗列即可，但由于16200较大，约数个数较多，直接罗列将十分烦琐且十分容易遗漏。现在给出此题的一种解法，先将16200写成几个自然数积的形式，要求是最简形式，即其中任意两个因数要么相同要么互质。如：

，类似的 。于是16200的任何一个约数都可以写成 ，其中 ，且都为整数。则求16200所有正约数的个数转化为求a,b,c的取值有多少种组合情况。显然a有从0到3共4个整数取值可能,b有从0到4共5个整数取值可能,c有从0到2共3个整数取值可能，由排列组合原理，共有 种组合情况。所以16200共有60个正约数。此题主要是给出了任意自然数所有约数的表示方式，转化为排列组合原理达到了快速解题的目的。

例2：房间里有灯100盏，依次编号为1，2，3，……，99，100，开始时都是灭的，第一次将所有编号能被1整除的灯拉一下，第二次将所有编号能被2整除的灯拉一下，……，第n次将所有编号能被n整除的灯拉一下，直到第100次，问有多少盏灯是亮的？

此题看似比较复杂，但只要理清楚对每一盏灯的操作过程，就可以得出较为有效的解题方法。对其中任何一盏灯的操作如下：对每一盏灯的编号，从1开始，用正整数从小到大去除它，如果能整除则灯的明亮被改变一次，否则不变。灯的明灭取决于被改变的次数的奇偶状况，若被改变奇数次，则的明灭与开始时不同，为明；否则和开始相同，为灭。我们知道自然数的约数大多成对出现，意思是：2为16的一个约数，由于 ，故8也是它的约数，也就是2和8作为16的约数成对出现。4也为16 的一个约数，与4成队出现的应是4，但个数不重复计算。故非平方数的约数个数为偶数，平方数的约数个数为奇数，因此题中所求就是找1到100之间的平方数，有1，4，9，25，36，49，64，81，100共10个，即为所求。

例3， 得到的积有一个约数是35的n次，这个n最大可以为多少？

此题就是典型的求乘积中包含某一因子个数的问题。 ，显然乘积中所包含的5的个数多余7的个数，n的最大值取决于因子中7的个数。分几类情况讨论：

1）能被7整除而不能被 整除(共有 个），这些数每个可以分解出1个7。

2）能被 整除而不能被 整除(共有 个），这些数每个可以分解出2个7。

3）能被 整除 (共有 个），这些数每个可以分解出3个7。

（以上" " 表示"取整"，即不超过其中数的最大整数。）

故整个乘积中共可分解出7的个数为 ……（1）式，即为所求。

在上面的解法中，在（1）式中，直接带入245，35，5的算法表达式，即总共所含7的个数=

= ，这可以作为此类题的一个解题公式。弄清了这个问题就不难解决下面类似的问题。