数学：关于双曲线的经典试题(含答案)

高中数学经典试题：已知双曲线C的中点在原点，焦点在x轴上，点P(-2，0)与其渐进线的距离为(根号10)/5，过P作斜率为1/6的直线交双曲线于A，B两点，交y轴于点M，且PM是PA与PB的等比中项.

　　⑴求双曲线C的渐进线方程

　　⑵求双曲线C的方程

　　高中数学经典试题答案

　　第一问设渐近线方程为y=kx，利用点到直线的距离，求出k=1/3，可求得渐近线方程为y=1/3x，

　　第二问解答如下

　　设：A(x1，y1)B(x2，y2)

　　直线为y=(1/6)*(x+2)，与y轴相交，即x=0时y=1/3

　　所以M(0，1/3)

　　|PM|是|PA|与|PB|的等比中项，即|PA|：|PM|=|PM|：|PB|

　　画个图可知他们是相似三角形

　　所以有：|y1|：(1/3)=(1/3)：|y2|

　　由于A、B必在x轴的两侧，所以y1，y2其中的一个必是负的

　　因此上式整理为：1/9=-y1*y2

　　再把直线和双曲线联立解方程组，要消x留y

　　其中双曲线的a=3b

　　得到一个关于y的一元二次方程

　　过程我省略了，方程是：27y^2-24y+4-b^2=0

　　则y1*y2=(4-b^2)/27

　　因此b^2=5

　　则a^2=45

　　方程就求出来了