数学：椭圆经典例题

求下列圆锥曲线的标准方程
（1）以双曲线

y2

2

-x2=1的顶点为焦点，离心率e=

2

2

的椭圆
（2）准线为x=

4

3

，且a+c=5的双曲线
（3）焦点在y轴上，焦点到原点的距离为2的抛物线．
答案 : （1）∵双曲线

y2

2

-x2=1的顶点坐标为（0，±

2

），
∴所求椭圆的焦点为（0，±

2

），可得c=

2

…2分
又∵椭圆的离心率e=

c

a

=

2

2

，可得a=

2

c=2，b²=a²-c²=2…3分
∴所求椭圆方程为

y2

4

+

x2

2

=1；…4分
（2）∵双曲线的准线方程为x=

4

3

，∴

a2

c

=

4

3

，结合a+c=5解得a=2，c=3
∴b²=c²-a²=5…（2分）
∴所求双曲线方程为

x2

4

-

y2

5

=1…（4分）
（3）根据题意，设抛物线的方程为x²=2py或x²=-2py（p＞0）
∵抛物线的焦点坐标为（0，±2），
∴

1

2

p=2，可得p=4…（2分）
∴所求抛物线方程为x²=8y或x²=-8y…（4分）