代数定义
设二维空间内有两个向量和
,定义它们的数量积(又叫内积、点积)为以下实数:
更一般地,n维向量的内积定义如下:
几何定义
设二维空间内有两个向量和
,它们的夹角为
,则内积定义为以下实数:
该定义只对二维和三维空间有效。
两种定义的等价性
以三维空间为例子①几何定义推导代数定义设,
,根据向量坐标的意义可知
根据点乘的分配律得
又
,所以
注意:点乘的分配律在空间内可通过几何证明,无需藉助向量关系,因此不属于循环推导。
②代数定义推导几何定义设,
,它们的终点分别为
和
,原点为O,
夹角为
。则
在△OAB中,由余弦定理得:
利用距离公式对这个等式稍作处理,得
去括号、合并得
注意:余弦定理和距离公式亦无需向量知识
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