2018年解放军武警部队士兵考军校-数学汇总知识点65
{00}已知正四面体ABCD的棱长为1,球O与正四面体的各棱都相切,且球心在正四面体的内部,则球O的表面积为
A.4π
B.2π
C.
D.
解析:分析:将正四面体ABCD,补成正方体,则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线,根据球O与正四面体的各棱都相切,且球心在正四面体的内部,可得球O是正方体的内切球,从而可求球O的表面积.
解答:将正四面体ABCD,补成正方体,则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线
∵正四面体ABCD的棱长为1
∴正方体的棱长为
∵球O与正四面体的各棱都相切,且球心在正四面体的内部,
∴球O是正方体的内切球,其直径为
∴球O的表面积为
故选C
点评:本题考查球的表面积公式解题的关键是将正四面体ABCD,补成正方体,使得球O是正方体的内切球.
本题选C。
{00}若一个n面体中有m个面是直角三角形,则称这个n面体的"直度"为 ,已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,那么四面体A-A 1B 1C 1的"直度"是
A.
B.
C.
D.1
解析:分析:根据正方体的几何特征,可由AA 1⊥平面A 1B 1C 1,判断出△AA 1B 1,△AA 1C 1是否为直角三角形;又由B 1C 1⊥平面AA 1B 1,可判断出△AB 1C 1,△A 1B 1C 1是否为直角三角形,进而根据"直度"的定义,得到答案.
解答: 解:由题意知四面体A-A 1B 1C 1中有4个面,
由于AA 1⊥平面A 1B 1C 1,故△AA 1B 1,△AA 1C 1为直角三角形
又由B 1C 1⊥平面AA 1B 1,故△AB 1C 1,△A 1B 1C 1也为直角三角形
即直角三角形有△A 1B 1C 1,△AA 1B 1,△AA 1C 1,△AB 1C 1,4个,
则四面体A1-ABC的直度为 =1.
故选D
点评:本题考查空间直线与平面的位置关系,考查空间想象能力,逻辑思维能力,是中档题.
本题选D。
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