2018年解放军武警部队士兵考军校-数学汇总知识点73

  {00}已知正四面体ABCD的棱长为1，球O与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，则球O的表面积为 

A.4π 
B.2π 
C. 
D.

解析：分析：将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线，根据球O与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，可得球O是正方体的内切球，从而可求球O的表面积． 
解答：将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线 
∵正四面体ABCD的棱长为1 
∴正方体的棱长为 
∵球O与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部， 
∴球O是正方体的内切球，其直径为 
∴球O的表面积为 
故选C 
点评：本题考查球的表面积公式解题的关键是将正四面体ABCD，补成正方体，使得球O是正方体的内切球．

本题选C。

{00}若一个n面体中有m个面是直角三角形，则称这个n面体的"直度"为 ，已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，那么四面体A-A 1B 1C 1的"直度"是 
A. 
B. 
C. 
D.1

解析：分析：根据正方体的几何特征，可由AA 1⊥平面A 1B 1C 1，判断出△AA 1B 1，△AA 1C 1是否为直角三角形；又由B 1C 1⊥平面AA 1B 1，可判断出△AB 1C 1，△A 1B 1C 1是否为直角三角形，进而根据"直度"的定义，得到答案． 
解答： 解：由题意知四面体A-A 1B 1C 1中有4个面， 
由于AA 1⊥平面A 1B 1C 1，故△AA 1B 1，△AA 1C 1为直角三角形 
又由B 1C 1⊥平面AA 1B 1，故△AB 1C 1，△A 1B 1C 1也为直角三角形 
即直角三角形有△A 1B 1C 1，△AA 1B 1，△AA 1C 1，△AB 1C 1，4个， 
则四面体A1-ABC的直度为 =1． 
故选D 
点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．

本题选D。