军转行测答题技巧：巧用隔板模型，秒杀同素分堆问题

 一、基本模型

到底什么是同素分堆问题呢，我们可以把他归纳成一个数学模型：将n个完全相同的元素分成m份，每份至少分一个，问一共有多少种分法?这是同素分堆问题的基本模型，下面我们来通过一个例子来说明如何用隔板模型求解。

例：有10个完全相同的苹果，分给3个小朋友，要求每个小朋友至少分一个，有多少种分法?

隔板模型，顾名思义就是用隔板来分，把要分的10个苹果一字排开，在间隙处插上两个隔板就可以分成3份，而且必须满足两个要求，一是隔板不能插苹果的两端，二是两个隔板不能插一起，因为这两种情况都不能保证分成三份并且每份至少一个，所以两个隔板只能插在9个空当中，换句话说，也就是将两个隔板插到9个空当中，每个空里插一个隔板，一共有多少种插法?根据组合定义可知用C_9^2 计算即可。同理，如果是8个苹果分给4个小朋友那就是 C_7^3，这样我们就找到了同素分堆问题的公式，n个相同元素分成m份，每份至少分一个，一共有C_(n-1)^(m-1) 种分法。

二、模型扩展

同素分堆问题还有两种扩展题型，第一种是将已知条件改为每份至少分多于1个，这种情况只需先分一部分，再按每份至少分一个分就可以了，比如10个苹果分给3个人，没人至少分2个，先拿出3个苹果，每人一个，再每人至少分一个，一共C_6^2 种分法;第二种是将每份至少1个这个条件直接去掉，就相当于每份至少分0个，此时可以假设从每份先借1个过来，再按照每份至少分一个，这样最后达到的效果仍然是每份至少分一个，所以一共有C_12^2 种分法。

有了隔板模型，同素分堆问题是不是瞬间变得超级简单了呢?