中国剩余定理讲解

一、基本模型

一个数除以a余x，除以b余y，除以c余z，求满足该条件的最小数。

二、特殊模型

1.余同加余

如果两个除式的被除数相同，余数相同，那么这个被除数的值等于两个除数的最小公倍数的倍数加上余数。

如：其中12是3和4的最小公倍数。

2.和同加和

如果两个除式的被除数相同，除数和余数的和相同，那么这个被除数的值等于两个除数的最小公倍数的倍数加上除数和余数的和。

如：其中12是3和4的最小公倍数。

3.差同减差

如果两个除式的被除数相同，除数和余数的差相同，那么这个被除数的值等于两个除数的最小公倍数的倍数减去除数和余数的差。

如：其中12是3和4的最小公倍数。

希望大家着重记忆特殊模型里面的三种情况，大家在做题中遇到这三种情况相对比较多，接下来我们看一个例子。

例1：一个盒子里乒乓球100多个，如果每次取5个出来最后还剩下4个，如果每次取4个最后还剩下3个，如果每次取3个最后还剩下2个，那么如果每次取12个最后剩多少个?

A.11                 B.10                   C.9                      D.8

解析：题目中乒乓球的个数除以5余4，除以4余3，除以3余2，根据中国剩余定理可知题中条件符合差同减差，所以乒乓球总数为根据题目乒乓球总数为100多个，可知n=2或3，那么乒乓球个数为119或179，无论是119还是179除以12余数都是11，所以答案选A。

例2：某市场调查公司有3个调查组共40余人，每组都有10余人且人数各不相同。2017年重新调整分组时发现，若想分为4个人数相同的小组，至少需要新招1人;若想分为5个人数相同的小组，至少还需要新招2人。问：原来3个组中人数最多的组比人数最少的组至少多几人?

A.2                     B.3                   C.4                      D.5

解析：这个题目告诉我们，若想分为4个人数相同的小组，至少需要新招1人，也就是总人数除以4余3;若想分为5个人数相同的小组，至少还需要新招2人，也就是总人数除以5余3，符合中国剩余定理中余同加余，所以总人数为20n+3，题目中告诉我们共40余人，所以n只能取2，总人数为43人。最终问的是原来3个组中人数最多的组比人数最少的组至少多几人，要想人数差的最少，意味着人数最多的组人数尽量少，人数最少的组人数尽量多，如果设最多的组人数为x，则第二多的组为x-1，最少的组为x-2，总人数x+(x-1)+(x-2)=43，解的x=15余1，那么三组人数分别为16、14、13，差至少为3，所以答案选B。