2017年自学考试《高等数学(一)》复习指导(1)

大纲适用于工学理学(生物科学类、地理科学类、环境科学类、心理学类等四个一级学科除外)专业的考生。

　　总要求考生应按本大纲的要求，了解或理解"高等数学"中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论;学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系;应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力;能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算;能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

　　本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为"了解"和"理解"两个层次;对方法和运算分为"会"、"掌握"和"熟练掌握"三个层次。

　　复习考试内容

　　一、函数、极限和连续

　　(一)函数

　　1.知识范围

　　(1)函数的概念

　　函数的定义 函数的表示法 分段函数 隐函数

　　(2)函数的性质

　　单调性 奇偶性 有界性 周期性

　　(3)反函数

　　反函数的定义 反函数的图像

　　(4)基本初等函数

　　幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数

　　(5)函数的四则运算与复合运算

　　(6)初等函数

　　2.要求

　　(1)理解函数的概念。会求函数的表达式、定义域及函数值。会求分段函数的定义域、函数值，会作出简单的分段函数的图像。

　　(2)理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。

　　(3)了解函数 与其反函数 之间的关系(定义域、值域、图像)，会求单调函数的反函数。

　　(4)熟练掌握函数的四则运算与复合运算。

　　(5)掌握基本初等函数的性质及其图像。

　　(6)了解初等函数的概念。

　　(7)会建立简单实际问题的函数关系式。

　　(二)极限

　　1.知识范围

　　(1)数列极限的概念

　　数列 数列极限的定义

　　(2)数列极限的性质

　　唯一性 有界性 四则运算法则 夹逼定理 单调有界数列极限存在定理

　　(3)函数极限的概念

　　函数在一点处极限的定义 左、右极限及其与极限的关系 趋于无穷 时函数的极限 函数极限的几何意义

　　(4)函数极限的性质

　　唯一性 四则运算法则 夹通定理

　　(5)无穷小量与无穷大量

　　无穷小量与无穷大量的定义 无穷小量与无穷大量的关系 无穷小量的性质 无穷小量的阶

　　(6)两个重要极限

　　2.要求

　　(1)理解极限的概念(对极限定义中" "、" "、" "等形式的描述不作要求)。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

　　(2)了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

　　(3)理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)。会运用等价无穷小量代换求极限。

　　(4)熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

　　(三)连续

　　1.知识范围

　　(1)函数连续的概念

　　函数在一点处连续的定义 左连续与右连续 函数在一点处连续的充分必要条件 函数的间断点及其分类

　　(2)函数在一点处连续的性质

　　连续函数的四则运算 复合函数的连续性 反函数的连续性

　　(3)闭区间上连续函数的性质

　　有界性定理 最大值与最小值定理 介值定理(包括零点定理)

　　(4)初等函数的连续性

　　2.要求

　　(1)理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在的关系，掌握判断函数(含分段函数)在一点处的连续性的方法。

　　(2)会求函数的间断点及确定其类型。

　　(3)掌握在闭区间上连续函数的性质，会用介值定理推证一些简单命题。

　　(4)理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用连续性求极限。