平面向量解题要点与实际应用

 　　我给学生提出了"三大线索，两大技巧"的复习重点。三大线索即：向量形式、坐标形式、几何意义。两大技巧为：抓"基底"、升次数。

　　天津一中贾鲁津

　　平面向量这一章内容本身兼有代数、几何双重特点，而又完全有别于学生多年来数学学习中所接触到的代数运算和几何证明，因此，多数同学对本章问题感到既抓不住重点，也找不到规律，因此很困惑，甚者发憷。比较近几年数学高考试卷中的平面向量题目，不难发现其中的几个突出变化：1.相关知识点覆盖面越来越全；2.与其他章节知识的交汇越来越多样，也越来越深入；3.题目所在档次有所提高，拿到相关分数的难度越来越大。如此，就增加了学生备考的难度。在顺利完成基本概念和基本运算复习的基础上，我给学生提出了"三大线索，两大技巧"的复习重点。三大线索即：向量形式、坐标形式、几何意义。两大技巧为：抓"基底"、升次数。下面就以向量与其他章节的综合为主线，和同学们一起回顾一下主要内容及其应用。

　　一、基本计算类:

　　1.已知-＝(1，2)，-＝(-3，2)，若(k-+-)⊥(--3-)则k＝_______，

　　若(k-+-)//(--3-)，则k＝____

　　答案：19，--。公式基本应用，无需解释。

　　2.已知向量-=(cos，sin)，向量-=(2-，-1)则|3---|的最大值为解：(3a-b)2=(3cosθ-2-,3sinθ+1)(3cosθ-2-,3sinθ+1)

　　=(3cosθ-2-)2+(3sinθ+1)2

　　=9cos2θ-12-cosθ+8+9sin2θ+1+6sinθ

　　=18+6sinθ-12-cosθ

　　≤18+-=18+18=36

　　∴|3a-b|max=6

　　点评：本题虽然是道小的综合题，但是向量中的升次技巧还是十分突出的，"见模平方"已是很多老师介绍给同学的一大法宝。不过升次的另外一种途径，就是同时点乘向量。

　　二、向量与三角知识综合：

　　3.设-=(1+cos，sin)，-=(1-cos，sin)，-=(1，0)，∈(0，)，∈(，2)-，-的夹角为θ1，-，-的夹角为θ2，且θ1-θ2=-，求sin-的值。

　　解：-·■=1+cos

　　-·■=1-cos

　　|-|2=2+2cos=4cos2-|-|2=2-2cos=4sin2-|-|=1

　　∵-∈(0，-)-∈(-，)

　　∴|-|=2cos-|-|=2sin-

　　又-·■=|-||-|cosθ1

　　∴1+cos=2cos-cosθ1

　　2cos2-=2cos-·cosθ1

　　∴cosθ1=cos-∴θ1=-

　　同理-·■=|-||-|cosθ2

　　∴sin-=cosθ2

　　∴cos(---)=cosθ2

　　∴---=θ2

　　∴θ1-θ2=-+-=-

　　∴-=--

　　∴sin-=--

　　三、向量与函数、不等式知识综合：

　　4.已知平面向量-=(-，1)，-=(-，-)，若存在不同时为零的实数k，t，使-=-+(t2-3)-，-=-k-+t-，且-⊥-.(1)试求函数关系式k=f(t)；(2)求使f(t)>0的t的取值范围.

　　解：(1)由题知-·■=0，|-|2=4|-|2=1

　　-·■=-k-2+t-·■+t(t3-3)-2-k(t2-3)-·■=-4k+t(t2-3)=0

　　∴k=-(t3-3t)即f(t)=-(t3-3t)

　　(2)f'(t)=-(3t2-3)=-(t2-1)

　　-

　　令f(t)=0∴t1=0t2=--t3=-

　　由图可知

　　t∈(--，0)∪(-,+∞)

　　四、用向量的知识解决三角形四边形中的问题。(与平面几何的交汇是近几年考试的热点)

　　温馨提示：据以下问题，同学们可以归纳一些常见结论，如与内心、外心、垂心、重心、中线、角分线、高线、共线、垂直等相关的结论。

　　5.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足-=-+(-+-)·∈(0,+∞)。则P的轨迹一定通过△ABC的()

　　A.外心B.内心

　　C.重心D.垂心

　　答案：B

　　6.设平面内有四个互异的点A，B，C，D，已知(---)与(-+--2-)的内积等于零，则△ABC的形状为()

　　(A)直角三角形

　　(B)等腰三角形

　　(C)等腰直角三角形

　　(D)等边三角形

　　答案：B

　　解：-+--2-=(---)+(---)=-+-

　　又---=-

　　∴-·（-+-)=0

　　∴等腰三角形

　　7.已知-A=-，-C=-，-C=-且满足(---)·■=0(>0)，则△ABC为()

　　A.等边三角形B.等腰三角形

　　C.直角三角形D.不确定

　　解：式子的含义就是角分线与高线合一。故选B。

　　8.若平面四边形ABCD满足-+-=-，(---)·■=0，则该四边形一定是

　　A.直角梯形B.矩形

　　C.菱形D.正方形

　　答案为C。第一个条件告诉我们这是平行四边形，而第二个条件则说明对角线互相垂直。

　　五、向量与解析几何的综合：

　　9.设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若-+-+-=0，

　　解：由-+-+-=0可知，F为三角形ABC的重心，故xg=-,而|-|+|-|+|-|=xA+xB+xC+3-故原式值为6。

　　10.已知A、B、D三点不在一条直线上，且A(-2，0)，B(2，0)|-|=2，-=-(-+-)求E点的轨迹方程；

　　解：(1)设E(x，y)，-=-+-，则四边形ABCD为平行四边形，而-=-(-+-)E为AC的中点

　　∴OE为△ABD的中位线

　　∴|-|=-|-|=1

　　∴E点的轨迹方程是：x2+y2=1(y≠0)

　　点评：本题正是关注了向量几何意义得以实现运算简化。

　　11.设椭圆方程为x2+-=1，过点M(0，1)的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足-=-(-+-)，点N的坐标为(-，-)，当l绕点M旋转时，求：

　　(1)动点P的轨迹方程；

　　(2)|-|的最小值与最大值.

　　(1)解：设点P的坐标为(x，y)，因A(x1，y1)、B(x2，y2)在椭圆上，所以x12+-=1④x22+-=1⑤

　　④-⑤得x12-x22+-(y12-y22)=0，所以(x1-x2)(x1+x2)+-(y1-y2)(y1+y2)=0

　　当x1≠x2时，有x1+x2+-(y1+y2)·■=0⑥

　　-

　　将⑦代入⑥并整理得4x2+y2-y=0⑧

　　当x1=x2时，点A、B的坐标为(0，2)、(0，-2)，这时点P的坐标为(0，0)

　　也满足⑧，所以点P的轨迹方程为-+-=1

　　(2)解：由点P的轨迹方程知x2≤-，即--≤x≤-。

　　所以|-|2=(x--)2+(y--)2=(x--)2+--4x2=-3(x+-)2+-……10分

　　故当x=-，|-|取得最小值，最小值为-；当x=--时，|-|取得最大值，

　　最大值为-。

　　点评：本题突出向量的坐标运算与解析几何求轨迹方法的结合，以及二次函数求最值问题。

　　12.在△ABC中，-=-，-=-又E点在BC边上，且满足3-=2-，以A，B为焦点的双曲线过C,E两点，(1)求此双曲线方程，(2)设P是此双曲线上任意一点，过A点作APB的平分线的垂线，垂足为M，求M点轨迹方程。

　　解：本题只解第一问，在这里向量的应用是很有新意的。

　　(1)以线段AB中点O为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，设A(-1,0)B(1,0)作CO⊥AB于D

　　由已知-=-

　　∴|-|cosA=-

　　∴|-|=-

　　又同理-=-

　　∴|-|=-

　　设双曲线---=1(a>0，b>0)C(--，h)E(x1，y1)

　　∵3-=2-

　　-

　　E，C在双曲线上

　　-

　　∴双曲线为7x2--y2=1