解析几何专题热点指导

 　　天津市第四十二中学 张鼎言

　　5.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2=x1+x3，则有()

　　A.|FP1|+|FP2|=|FP3|

　　B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2

　　C.2|FP2|=|FP1|+|FP3|

　　D.|FP2|2=|FP1|·|FP3|

　　分析∵P1、P2、P3在抛物线上，

　　∴由抛物线定义

　　|PF1|=x1-(--)

　　=x1+-

　　|PF2|=x2+-

　　|PF3|=x3+-

　　又2x2=x1+x3

　　2(x2+-)=(x1+-)+(x3+-)

　　∴2|FP2|=|FP1|+|FP3|

　　选C

　　6.已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于()

　　(A)3(B)4

　　(C)3-(D)4-

　　解：A(x1，y1)，与B(x2，y2)关于直线x+y=0对称，又A、B在抛物线上，

　　-

　　(2)-(1)：y1+x1=-x12+y12=(y1+x1)(y1-x1)

　　∵点A不在直线x+y=0上

　　∴x1+y1≠0，y1-x1=1，y1=x1+1代入(1)

　　-

　　A(-2，-1)，B(1，2)反之亦然

　　∴|AB|=3-，选C

　　7.双曲线C1：---=1(a>0，b>0)的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的准线为l，焦点为F2；C1与C2的一个交点为M，则---等于()

　　A.-1B.1

　　C.--D.-

　　解：|F1F2|=2c，设|MF1|=x，|MF2|=y

　　由M在双曲线C1上，x-y=2a

　　M在抛物线C2上，|MN|=|MF2|=y

　　又M在C1上，由双曲线第二定义-=-=-

　　-

　　---

　　=---=-1选A

　　注：本题把双曲线定义、第二定义与抛物线定义连结在一起，这里M在C1、C2上是突破口，所以几何图形上的公共点是知识点的交叉点，是设计问题的重要根源.

　　(三)直线与圆锥曲线相切

　　复习导引：学习了导数，求圆锥曲线的切线多了一条重要途径，归结起来求切线可用判别式△=0或求导.

　　1.如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C(0，c)任作一直线，与抛物线y=x2相交于A、B两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l：y=-c交于P，Q，(1)若-·■=2，求c的值；

　　(2)若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；

　　(3)试问(2)的逆命题是否成立？说明理由。

　　解：(1)-

　　设A(x1，y1)、B(x2，y2)即A(x1，x12)、B(x2，x22)

　　△=k2+4c>0

　　x1+x2=k，x1·x2=-c，y1·y2=(x1·x2)2=c2

　　-·■=x1x2+(x1·x2)2=c2-c=2→c=2，c=-1(舍去)

　　解(2)线段AB中点P(xp，yp)

　　xp=-，yp=-

　　∴xp=-，Q(-，-c)

　　kAQ=-

　　=-=2x1

　　又过A点的切线斜率

　　k=y'-=2x1

　　∴AQ是此抛物线在A点的切线。

　　解(3)过A点的切线：y-y1=2x1(x-x1)

　　y-x12=2x1(x-x1)

　　化简y=2x1x-x12

　　Q(-，-c)是否满足方程。

　　y=2·x1·■-x12=x1·x2=-c

　　∴过A点的切线过Q点

　　∴逆命题成立