小升初奥数数论：整数拆分的要点及解题技巧

 一、概念：把一个自然数(0除外)拆成几个大于0的自然数相加的形式。

二、类型----方法

1、基本型

2、造数型

3、求加数最多

方法：1+2+3+……接近结果但是不超过已知数为止，再补差

4、两数型

(1)和不变：差小积大，差大积小

(2)积不变：差大和大，差小和小

5、拆数型

积最大(1)允许相同：多3少2没有1

(2)不允许相同：从2连续拆分2+3+4+……刚好超过目标数为止

1)超几就去几

2)多1去2，差1补尾

三、例题

例1、若干只同样的盒子排成一列，小明把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小聪从每只盒子里取出一个小球，然后把这些小球放到小球最少的盒子里去，在把盒子从新排列了一下。小明回来，仔细查看，没有发现友人动过小球和盒子。问：一共有多少只盒子?

分析：设原来小球数最少的盒子里装有a只小球，现在增加到了b只，但小明发现没有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a个球的盒子，这只盒子原来装有a+1个小球，

同理，现在另有一个盒子里装有a+1个小球，这只盒子里原来装有a+2个小球。

依此类推可知：原来还有一个盒子里装有a+3个小球，a+4个小球等等，故原来那些盒子里装有的小球数是一些连续自然数。

现在这个问题就变成了：将42分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数?

因为42=6×7，故可将42看成7个6的和，又：

(7+5)+(8+4)+(9+3)

是六个6，从而：

42=3+4+5+6+7+8+9

一共有7个加数;又因为42=14×3，可将42写成13+14+15，一共有3个加数;

又因为42=21×2，故可将42写成9+10+11+12，一共有4个加数。

解：本题有三个解，一共有7只盒子，4只盒子，3只盒子。

点金术：巧用假设和推理把已知和未知联系起来。

例2、将1992表示成若干个自然数的和,如果要使这些数的乘积最大,这些自然数是______.

(1992年武汉市小学数学竞赛试题)

讲析:若把一个整数拆分成几个自然数时,有大于4的数,则把大于4的这个数再分成一个2与另一个大于2的自然数之和,则这个2与大于2的这个数的乘积肯定比它大.又如果拆分的数中含有1,则与"乘积最大"不符.

所以,要使加数之积最大,加数只能是2和3.

但是,若加数中含有3个2,则不如将它分成2个3.因为2×2×2=8,而3×3=9.

所以,拆分出的自然数中,至多含有两个2,而其余都是3.

 

而1992÷3=664.故,这些自然数是664个3.