证券金融论文：二叉树模型价格问题

 引言

期权定价问题一直是金融研究的热点问题之一，期权的价格受到众多因素的影响，在市场含有不确定因素的环境下，影响期权价格的因素变量不仅仅具有随机性的特点，还存在着模糊的性质［1－2］，而模糊理论是处理非随机不确定性的有力工具，模糊理论的研究为期权定价理论提供了新的理论依据，基于此，许多研究者对经典的期权定价模型进行了改进。Muzzioli等［1］研究了模糊波动率下欧式期权的二叉树定价模型，并以DAX指数期权价格数据进行实证分析。Yoshida［2］给出了股票价格的模糊随机过程，在模糊目标下用模糊期望计算出了欧式期权的连续定价模型。Muzzioli等［3］用三角模糊数代替传统二叉树期权定价模型中相应的参数，从而建立模糊美式期权定价模型。Yoshida［4］给出了美式看跌期权的离散定价模型。Wu［5］运用模糊理论对经典的Black-Scholes公式进行了修正，给出了模糊形式下欧式期权定价的Black-Scholes公式。近年来，国内该领域的研究也有一定的进展，如韩立岩等［6－7］研究了Knight不确定条件下欧式期权的模糊二叉树定价，并对模糊价格进行去模糊化;于孝建［8］则是应用模糊集理论将无风险利率和波动率进行了模糊化得到了美式看跌期权的二叉树模型。在应用模糊集理论中，选择适当的隶属函数很重要，Bodjanova［9］指出k次抛物型分布模糊数及其中间型的隶属函数能够较好地刻画期权的模糊参数。本文在已有研究的基础之上，将股票价格的波动率用复杂的抛物型模糊数代替，并推导出模糊风险中性概率，从而建立美式看跌期权的模糊二叉树模型，并得出最优实施时间。最后利用国内权证市场数据进行实证分析，结果表明所建立的模型对投资者进行投资决策具有指导意义。

1抛物型模糊数

1.1模糊集及抛物型模糊数的定义设在论域R上给定了映射μA:R→［0，1］x→μA(x)则称μ确定了R上的一个模糊子集，记为A。μ称为模糊子集A的隶属函数，若x∈R，μ从图1可以看出，三角模糊数和梯形模糊数是抛物型模糊数的特殊形式。此外，抛物型模糊数的左右枝可以表示为不同的函数形式，这一特征可以使其捕获到关于波动率的更多信息，因此，本文中采用抛物型模糊数来代替股票价格的波动率。抛物型模糊数A的α-截集定义为1.2模糊风险中性概率在传统的二叉树模型中，假设股票价格的上涨和下降因子分别为u=eσ槡Δt和d=e－σ槡Δt［10］，σ为股票价格的波动率，通常采用历史波动率或隐含波动率的方法计算。由于股票价格波动率的估计存在不确定性，所以在本文中，假设波动率σ为抛物型模糊数，进而u和d也为抛物型模糊数，即(1)市场无摩擦、无卖空限制，资产无限可分;(2)市场是完全的;(3)利率r是常数;(4)不存在套利机会，即d4＜1+r＜u1。

2美式期权定价的模糊二叉树模型

2.1美式看跌期权定价的模糊二叉树算法传统二叉树模型在美式期权定价中有广泛的应用，本文将该模型扩展为美式期权的模糊二叉树模型，由于美式看涨期权提前执行无益，与欧式期权的定价过程类似，因此本文的研究对象仅限为美式看跌期权。假设期权的有效期为T，将T平均分成N期，Δt=T/N，在初始时刻股票价格为S0，执行价格为K，期权的价值函数为Vn(S)，n=0，1，…，N，则模糊二叉树定价算法过程分三步。

2.2美式看跌期权的最优实施时间美式期权应该被实施的时刻τ是随机的，它依赖于股票价格的变动，如果停时出现在时刻n，那么这一决定仅仅是基于前n期股票价格变动的结果。美式期权的价值总是大于或者等于内在价值，最优实施的时刻τ*是两者相等的第一时刻，因此我们给出最优停时τ*的定义为式(6)中，有可能等式两端永不相等，例如，美式看跌期权的价值总是大于或者等于0，而看跌期权有可能总是虚值(即内在价值为负)，在这种情况下，式(6)的右端是在空集上取最小值，按照数学上的约定，空集上的最小值是∞，即美式期权永远不被实施。

3数值算例

采用中国权证市场的数据对模糊二叉树模型的定价过程进行分析。广东省机场管理集团公司发行的认沽权证机场JTP1于2005年12月23日在上海证券交易所上市，该权证自上市首日起满3个月后就进入行权期，故可以将机场JTP1看作是美式期权，并且是国内唯一的一只美式权证，其标的股票是白云机场(证券代码:600004)。选择2006年3月23日(即行权期首日)的数据，白云机场股票价格为S0=6.27元，该权证的剩余期限T=274d，行使价格K=7元。无风险利率r选择权证存续期内一年期存款利率，r=2.25%。波动率参数σ采取历史波动率的方法进行估计，在对股票价格抽样时，样本期间和样本数量的不同会使波动率的估计结果有所差异，不同的结果反映了不同的市场信息，因此，为了包含更多的市场信息，我们分别以2006年3月23日前240、180、120、60个交易日白云机场股票价格的收盘价为观察样本，得到用抛物型模糊数表示的波动率为(0.1972，0.204，0.2184，0.2408)k。当α=1时，利用2.2节中美式期权的模糊二叉树定价算法计算出股票价格和权证价格的α-截集，即模糊价格区间，如图2～3所示。图2和图3分别表示白云机场股票价格的路径和机场JTP1权证在二叉树各个节点上的模糊价格，并且机场JTP1权证在初始节点的模糊价格V0(S0)的α-截集为［0.7646，0.8835］。由此可以看出，通过将波动率的信息以模糊数的形式引入传统二叉树模型，得到权证的模糊价格区间为投资者提供了更多的选择，极大地反映了市场信息。在得到了美式认沽权证的价格路径基础之上，进一步分析在模糊环境下投资者的决策行为。在本文中，利用α-截集的概念来分析不同风险偏好投资者的投资决策。置信水平α∈［0，1］，风险爱好者具有较大的置信水平，其投资行为比较冒险;相反的，风险厌恶者具有较小的置信水平，其投资行为更加谨慎。表1给出了权证模糊价格与置信水平及抛物型模糊数的隶属函数之间的关系。由表1可以看出，当抛物型模糊数的隶属函数的次数k一定时，随着α值的增大，权证的模糊价格区间在逐步收缩，即风险厌恶者(α相对小)的模糊价格区间较大，风险爱好者(α相对大)的模糊价格区间较小。投资者可根据该区间进行投资策略的制定，比较权证理论价格与市场价格，如果市场价格低于(或高于)区间的下界(或上界)，投资者可以通过买入(或卖出)权证来获取无风险收益。因此不同风险偏好的投资者可选择的无风险套利区间亦不相同，风险厌恶者的无风险套利区间较小，风险偏好者的无风险套利区间较大。由表1还可以看出，当α值一定时，随着抛物型模糊数的隶属函数的次数k的增加，权证模糊价格区间也在逐步收缩。因此投资者在利用本文所建立的模糊二叉树模型进行投资决策时，可根据自身的风险偏好主观选择不同的α值和k值，得到一个模糊价格区间，根据市场价格的变动选择最优的无风险套利时机。

4结束语

本文引入模糊集理论，将股票价格的波动率假设为抛物型模糊数，从而建立了美式看跌期权的模糊二叉树模型，给出具体的定价算法及最优实施时间，数值算例结果表明所建立的定价模型能够得到合理的期权模糊价格区间，并研究了期权模糊价格与置信水平及抛物型模糊数隶属函数的关系，从而为投资者进行投资决策提供了依据。进一步研究的内容其一是如何由市场信息来选择更为合适的模糊数进行期权的定价，其二是如果假设股票价格、波动率和无风险利率均为模糊随机变量，如何运用模糊随机过程理论进行期权的定价。