概率论与数理统计教学探索

  [摘要]在概率论与数理统计的教学中引导学生注意概念间的联系和区别,从而加深理解;强调概率统计理论方法的实际应用,激发求知欲和探索欲,提高独立解决问题和实践创新能力。 
　　[关键词]概率定义 随机变量 数学软件 学以致用 
　　 
　　概率论与数理统计是几乎每所高等院校理学、工学、经济学、管理学、社会学等各专业本科阶段的必修数学课程,它是研究随机现象的一门学科。由于随机性问题在现实中的普遍存在,这门处理随机现象的数量关系与数量规律性的课程越来越受到重视。形势对于讲授概率论与数理统计课程的老师也有了更高的要求。在教学过程中笔者试图作如下探索与尝试。 
　　一、注重概念间的联系与区别 
　　数学老师和学习数学的同学们在多年的教与学的过程中,都清晰的认识到数学中的概念(此处是广义的概念,包括公理、定义、性质、定理、公式等等)是非常重要的。对于概念统计这门课来说,也毫不例外。老师们应该在各章各节强调一些基本概念以及某些概念间的联系和区别,来帮助同学们掌握。 
　　比如在第一章中,一般都提到了概率的三种定义:统计定义(即用频率来定义),古典定义(对于古典概型来说),公理化定义(Kolmogrov首先提出)。动脑筋的同学自然会想它们到底有什么关系,各自有什么特点。统计定义是最符合人们直观感觉的一种定义,用大量重复中事件出现的频率作为其概率(在这里要承认频率具有稳定性,这是概率论存在的经验基础),在很多应用中的确是这样用经验来估计概率的,那么它跟古典定义的结果是一致的吗。可以这样理解:古典定义只能针对古典概型,即试验中只有有限多的结果,且它们等可能发生(这本身也是基于经验的),就是说根据经验,大量重复试验后,发生的频率的确趋向于古典概型中的定义。这样两者是不矛盾的。而概率的公理化定义是从理论角度抽象出来的,它不管当前考虑的是什么实际问题,不论考虑的概率是掷硬币还是掷筛子,它从大量的问题中提炼出概率应该具有的共性,当然公理的三条是符合人们的直观认识的。注意它并不给出一个实际问题中某事件的确切概率是多少,它的伟大意义在于为整个概率论的建立奠定了严密的公理基础,在此基础上人们可以展开推理,得出许多有用的结果,让概率理论更加繁荣,解决实际问题的威力更加强大。通过这样的一些解释,同学们的一些疑惑就会有所释怀。 
　　在讲到随机变量这一块内容时,反复地让同学们体会离散型与连续型的区别和联系。每个知识点都是先讲离散型,再过渡到连续型的情况。离散型随机变量是现实世界中最简单基本的一种随机变量,它的性质和理论容易理解,符合直观。就分布函数来说,离散和连续有共性,也有各自的特性,这一点特别需要向同学们强调,不可张冠李戴。比如离散型的分布函数有跳跃点,只是右连续;而连续性的分布函数如同其名是连续的(既左连续也右连续)。离散型随机变量可以用一个简单的概率分布表说明一切,你要求它的分布函数,只需把所有小于等于x的那些取值的概率相加即可;而连续型的往往要用密度函数积分。由离散向连续的过渡往往是一个求和变成积分,让同学们认识到这是人们在处理很多科学问题时的一种思维方式(由简单到复杂,由离散到连续,由有限到无限,由静止到变化),这对他们今后继续学习研究是很重要的。 
　　当课程进入数学期望的时候,同样分为离散型和连续性来讲的。先把离散型讲清楚,再在黑板上画示意图用离散型去近似逼近连续型,让大家体会由求和过渡到积分的过程。尽管这不是严密的数学推倒,但对于理解记忆很有用,让同学们不仅知道如何计算,也知其所以然,而不能只教大家套用公式。 
　　当然还有很多其他概念和定理需要挖掘内涵,作比较,如大数定律和中心极限定理等等,不胜枚举。只有真正掌握好概念和性质,才有可能把概率理论理解好,应用好。 
　　二、强调应用 
　　在讲到某些概念时有必要向同学们介绍在实践中的相关应用,让学生们不仅知道概念怎么来(即如何产生),也知道怎么去(如何应用)。比如讲到超几何分布时,实际中有这样的问题:如何估计一个池塘里鱼的数目。引导同学们思考,不一定要完全解决,但同学们都能体会到超几何分布是跟实际问题紧密相连的。老师不能仅停留在书上的一些例题,这些例题往往理论性较强,看不出明确的实际作用。学习到二项分布时,最典型的是有关保险保费的收取问题,如何保证保险公司不亏本,同学们也会比较感兴趣。对于poisson分布,实例就更多了,排队论中也经常用到。比如114声讯台话务员设置,银行和火车站的窗口设置以及队长、忙期闲期的预测等等都牵涉到poisson分布。 
　　数学期望无疑是概率中极为重要的概念之一,现实生产生活中有很多随机现象需用期望去衡量和解决。比如报童问题、飞机票预定问题(因为有多少人不能按时登机是随机的,所以有必要制定合适的订票限额来保证飞机场期望利润极大化)、还有游戏网站及福利彩票的奖项及奖金的设置问题。这些问题很有现实意义,他们都有较强随机性,如何刻画它们,不可避免的要利用数学期望,诸如此类,不胜枚举。还可以要求同学们课下自学matlab等数学软件,为用概率统计方法解决实际问题打下基础。 
　　多举实例能让同学们加深概念理解,明白这些概念不是数学家闭门造车出来的,不是不食人间烟火的,是可以解决实际问题的,教导同学们努力尝试学以致用。强调应用,可以激发广大同学的学习热情,探索欲望,充分调动他们的主观能动性,提高独立研究解决问题的能力,这是整个教育的本质和归宿。 
　　 
　　参考文献: 
　　[1]沈恒范.概率论与数理统计 [M].北京:高等教育出版社. 
　　[2]姜启元,谢金星,叶俊.数学模型[M].北京:高等教育出版社.