2019年MPAcc联考辅导：数学解题思路精析(三)

　　本篇给出求简单递推数列通项公式的通用解法，并由此思路解一个老题。

　　以下记A(N)为数列第N项

　　1、已知A1=1，A(N)=2A(N-1)+1，求数列通项公式

　　解：由题意，A(N)+1=2[A(N-1)+1]

　　即 A(N)+1是以2为首项，2为公比的等比数列

　　因此 A(N)+1=2^N

　　数列通项公式为 A(N)=2^N-1

　　2、通用算法

　　已知A1=M，A(N)=P*A(N-1)+Q，P《》1，求数列通项公式

　　解：设 A(N)+X=P*[A(N-1)+X]

　　解得 X=Q/(P-1)

　　因此 A(N)+Q/(P-1)是以A1+Q/(P-1)为首项，P为公比的等比数列

　　由此可算出A(N)通项公式

　　3、已知A1和A2， A(N)=P*A(N-1)+Q*A(N-2)，求数列通项公式

　　解题思路：设 A(N)+X*A(N-1)=Y*[A(N-1)+X*A(N-2)]

　　代入原式可得出两组解，对两组X，Y分别求出

　　A(N)+X*A(N-1)的通项公式

　　再解二元一次方程得出A(N)

　　注：可能只有一组解，但另有解决办法。

　　4、现在用上面的思路来解决一个著名的问题：

　　N个球和N个盒子分别编号从1到N，N个球各放入一个盒子，求没有球与盒子编号相同的放法总数。

　　解：设A(N)为球数为N时满足条件的放法(以下称无配对放法)总数，

　　易知A1=0，A2=1

　　当N》2时，一号球共有N-1种放法，假设1号球放入X号盒子

　　在剩下的N-1个球和N-1个盒子中，如X号球正好放入1号盒子，

　　问题等价于有N-2个球的无配对放法，放法总数为：A(N-2)

　　在剩下的N-1个球和N-1个盒子中，如X号球没有放入1号盒子，

　　则可以把X号球看作1号球，问题等价于有N-1个球的无配对放法，

　　放法总数为：A(N-1)

　　因此有 A(N)=(N-1)*[A(N-1)+A(N-2)]

　　上式可变换为： A(N)-NA(N-1)

　　=-[A(N-1)-(N-1)*A(N-2)]

　　按等比数列得出： A(N)-NA(N-1)=(-1)^N

　　上式除以N!得出：

　　A(N) A(N-1) (-1)^N

　　------- = ---------------- + -----------------

　　N! (N-1)! N!

　　把 A(N)/N!当作新的数列， 把(-1)^N/N!也作为一个数列

　　则 A(N)等于数列 (-1)^N/N!从第二项到第N项的和再乘以N

　　另外可得出：

　　N球恰有K球与盒子配对的放法总数为： C(N，K)*A(N-K)