2017年湖南省长沙市中考数学真题及答案

2017 年湖南省长沙市中考数学真题及答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．（3 分）下列实数中，为有理数的是（ A．√ 3 B．π 3 C．√ 2 ） D．1 2．（3 分）下列计算正确的是（ A．√ 2+ √ 3=√ 5 B．a+2a=2a2 ） C．x（1+y）=x+xy D．（mn2）3=mn6 3．（3 分）据国家旅游局统计，2017 年端午小长假全国各大景点共接待游客约为 82600000 人次，数 据 82600000 用科学记数法表示为（ A．0.826×106 B．8.26×107 ） C．82.6×106 D．8.26×108 4．（3 分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ 直角三角形 A． 正五边形 B． 正方形D． C． ） 平行四边形 5．（3 分）一个三角形的三个内角的度数之比为 1：2：3，则这个三角形一定是（ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 6．（3 分）下列说法正确的是（ ） A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查 B．可能性是 1%的事件在一次试验中一定不会发生 C．数据 3，5，4，1，﹣2 的中位数是 4 D．“367 中有 2 人同月同日初生”为必然事件为必然事件 7．（3 分）某几何体的三视图如图所示，因此几何体是（ A．长方形 B．圆柱 C．球 D．正三棱柱 8．（3 分）抛物线 y=2（x﹣3）2+4 顶点坐标是（ ） 第 1 页（共 29 页） ） ） A．（3，4）B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（2，4） 9 ． （ 3 分 ） 如 图 ， 已 知 直 线 a∥b ， 直 线 c 分 别 与 a ， b 相 交 ， 的度数为（ ∠1=110°，则∠2 ） A．60° B．70° C．80° D．110° 10 ． （ 3 分 ） 如 图 ， 菱 形 ABCD 的 对 角 线 AC ， BD 的 长 分 别 为 这个菱形的周长为（ 6cm ， 8cm ， 则 ） A．5cm B．10cm C．14cm D．20cm 11．（3 分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段 记载：“三百七十八里 关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”为必然事件其大意是，有人要去某关口，路程为 378 里， 第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地 ， 则此人第六天走的路程为（ A．24 里 B．12 里 ） C．6 里 D．3 里 12．（3 分）如图，将正方形 ABCD 折叠，使顶点 A 与 CD 边上的一点 H 重合（H 不与端点 C，D 重合）， 折痕交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，边 AB 折叠后与边 BC 交于点 G．设正方形 ABCD 的周长为 m，△CHG 的周长为 n，则 A． √2 C． √ 5−1 2 B． n 的值为（ m ） 1 2 2 D．随 H 点位置的变化而变化 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13．（3 分）分解因式：2a2+4a+2= {¿¿3x+x −y=1 y=3 14．（3 分）方程组 的解是 ． ． 15．（3 分）如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，已知 CD=6，EB=1，则⊙O 的半径为 第 2 页（共 29 页） ． 第 15 题 第 16 题 16．（3 分）如图，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A（2，4），B（6，0），O（0，0），以原点 O 为 1 2 位似中心，把这个三角形缩小为原来的 ，可以得到△A′B′O，已知点 B′的坐标是（3，0），则点 A′的坐 标是 ． 17．（3 分）甲、乙两名同学进行跳高测试，每人 10 次跳高的平均成绩恰好是 1.6 米，方差分别是 S 甲 2 同学的成绩更稳定（填“甲”为必然事件或“乙”为必然事件） =1.2，S 乙 2=0.5，则在本次测试中， k 18．（3 分）如图，点 M 是函数 y= √ 3x 与 y= x 的图象在第一象限 OM=4，则 k 的值为 内 的 交 点 ， ． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分） 1 3 19．（6 分）计算：|﹣3|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+（ ）﹣1． x ≥−9−x {¿ 5¿x2−1＞ 3(x +1) 20．（6 分）解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来． 21．（8 分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”为必然事件活动，某校团委组织八年 级 100 名学生进行“经典诵读”为必然事件选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表． 组别 分数段 频次 频率 A 60≤x＜70 17 0.17 B 70≤x＜80 30 a C 80≤x＜90 b 0.45 D 90≤x＜100 8 0.08 请根据所给信息，解答以下问题： 第 3 页（共 29 页） （1）表中 a= ，b= ； （2）请计算扇形统计图中 B 组对应扇形的圆心角的度数； （3）已知有四名同学均取得 98 分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四 名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率． 22．（8 分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执 行巡航任务的海监船以每小时 50 海里的速度向正东方航行，在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60°方向上，继 续航行 1 小时到达 B 处，此时测得灯塔 P 在北偏东 30°方向上． （1）求∠APB 的度数； （2）已知在灯塔 P 的周围 25 海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ ^ =CE ^ 23．（9 分）如图，AB 与⊙O 相切于点 C，OA，OB 分别交⊙O 于点 D，E，CD （1）求证：OA=OB； （2）已知 AB=4√ 3，OA=4，求阴影部分的面积． 24．（9 分）自从湖南与欧洲的“湘欧快线”为必然事件开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备 在湖南采购一批特色商品，经调查，用 16000 元采购 A 型商品的件数是用 7500 元采购 B 型商品的件数 的 2 倍，一件 A 型商品的进价比一件 B 型商品的进价多 10 元． （1）求一件 A，B 型商品的进价分别为多少元？ 第 4 页（共 29 页） （2）若该欧洲客商购进 A，B 型商品共 250 件进行试销，其中 A 型商品的件数不大于 B 型的件数，且不 小于 80 件．已知 A 型商品的售价为 240 元/件，B 型商品的售价为 220 元/件，且全部售出．设购进 A 型 商品 m 件，求该客商销售这批商品的利润 v 与 m 之间的函数关系式，并写出 m 的取值范围； （3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件 A 型商品，就从一件 A 型商品的利润中 捐献慈善资金 a 元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益． 25．（10 分）若三个非零实数 x，y，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称 这三个实数 x，y，z 构成“和谐三组数”为必然事件． （1）实数 1，2，3 可以构成“和谐三组数”为必然事件吗？请说明理由； k x （2）若 M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数 （k 为常数，k≠0）的图象上，且 这三点的纵坐标 y1，y2，y3 构成“和谐三组数”为必然事件，求实数 t 的值； （3）若直线 y=2bx+2c（bc≠0）与 x 轴交于点 A（x1，0），与抛物线 y=ax2+3bx+3c（a≠0）交于 B（x2，y2），C（x3，y3）两点． ① 求证：A，B，C 三点的横坐标 x1，x2，x3 构成“和谐三组数”为必然事件； c a b a ② 若 a＞2b＞3c，x2=1，求点 P（ ， ）与原点 O 的距离 OP 的取值范围． 第 5 页（共 29 页）