2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
理科数学2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
理科数学
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，，则【 D 】
A．, B．,
C. , D. ,
2．对于非零向量“”是“”的【 A 】
A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3．将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则等于【 D 】
A． B． C. D.
4．如图1，当参数时，连续函数 的图像分别对应曲线和 , 则【 B 】
A ． B ．
C ． D ．
5．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为【 C 】
A． 85 B． 56 C ．49 D ．28
6．已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域D内的弧长为【 B 】
A． B． C． D．
7．正方体的棱上到异面直线AB，C的距离相等的点的个数为【 C 】
A．2 B．3 C． 4 D．5
8．设函数在内有定义.对于给定的正数K，定义函数取函数。若对任意的，恒有，则【 D 】
A．K的最大值为2 B．K的最小值为2
C．K的最大值为1 D．K的最小值为1
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上
9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ 12_ _.
10．在的展开式中，的系数为__7__(用数字作答).
11．若，则的最小值为 .
12．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为，则双曲线C的离心率为
13．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数为 40 。
14．在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则
（1）球心到平面ABC的距离为 12 ；
（2）过Ａ，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为 3 .
15．将正分割成个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为，则有，
，… ， .
三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）
在中，已知，求角A，B，C的大小
解： 设
由得，所以.
又因此
由得，于是.
所以，，
因此，既.
由知，所以，
从而或，既或
故或。
17．（本小题满分12分）
为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，.现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。
（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望。
解: 记第名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，相互独立，（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且
（Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率
P=
（Ⅱ）解法1：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，
由已知， B（3，），且=3-。
所以P（=0）=P（=3）==，
P（=1）=P（=2）= =，
P（=2）=P（=1）==，
P（=3）=P（=0）= = .
故的分布列是
0 1 2 3
P
的数学期望E=+++=2.
解法2: 记第名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事件，i=1,2,3 . 由已知，相互独立，且P（）=（）= P（）+P（）=+=，
所以,即，
故的分布列是
0 1 2 3
P
18．（本小题满分12分）
如图4，在正三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，且
（I）证明：平面平面；
（II）求直线和平面所成角的正弦值。
解：（I） 如图所示，由正三棱柱的性质知平面.
又DE平面，所以DE.而DEAE，AE=A，
所以DE平面.又DE平面ADE，故平面平面
（2）解法1： 如图所示，设F是AB的中点，连接DF，DC，CF，
由正三棱柱的性质及D是的中点知，
CD，DF
又CDDF=D，所以平面CDF.而AB∥，
所以AB平面CDF.又AB平面ABC，
故平面AB C平面CDF。过点D做DH垂直CF于点H，则DH平面AB C。
连接AH，则HAD是AD和平面ABC所成的角。
由已知AB=A A，不妨设A A=，则AB=2，DF=，D C=，CF=，AD==，DH===.
所以 sinHAD==。即直线AD和平面AB C所成角的正弦值为.
解法2： 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设A A=，则AB=2，相关各点的坐标分别是A(0,-1,0)， B（，0，0）， C（0，1，）， D（，，）。
易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，，）.
设平面ABC的法向量为,则有
解得
故可取.
所以，==。
由此即知，直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。
19．（本小题满分13分）
某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素.记余下工程的费用为万元。
（Ⅰ）试写出关于的函数关系式；
（Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？
解：（Ⅰ）设需新建个桥墩，则，
所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
令，得，所以=64.
当0<<64时，<0，在区间（0，64）内为减函数；
当时，>0. 在区间（64，640）内为增函数.
所以在=64处取得最小值，此时
故需新建9个桥墩才能使最小。
20．（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d. 当点P运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和
（Ⅰ）求点P的轨迹C；
（Ⅱ）设过点F的直线与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。
解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则
由题设，，即. ……①
当x>2时，由①得 ……②
化简得
当时，由①得……③
化简得.
故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1.
（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2
与，的交点都是A（2，），B（2，），
直线AF，BF的斜率分别为=，=.
当点P在上时，由②知. …… ④
当点P在上时，由③知. …… ⑤
若直线的斜率k存在，则直线的方程为.
（ⅰ）当k≤，或k≥，即k≤或k≥时，直线与轨迹C的两个交点都在上，此时由④知
，
从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= （6 -）+（6 - ）=12 - ( +).
由 得.
则，是这个方程的两根，所以+=，∣MN∣=12 -（+）=12 -.
因为当所以
当且仅当时，等号成立。
（ⅱ）当时，直线与轨迹C的两个交点
分别在上，不妨设点在上，点在上，
则由④⑤知，.
设直线AF与椭圆的另一交点为E
，
所以。而点A，E都在上，
且由（ⅰ）知
若直线的斜率不存在，则==3，此时
.
综上所述，线段MN长度的最大值为.
21．（本小题满分13分）
对于数列,若存在常数M＞0,对任意的，恒有
,
则称数列为数列.
（Ⅰ）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;
请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题
判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（Ⅱ）设是数列的前项和，给出下列两组论断；
A组：①数列是B-数列, ②数列不是B-数列;
B组：③数列是B-数列, ④数列不是B-数列.
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论
组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论；
(Ⅲ)若数列都是数列，证明：数列也是数列。
解:（Ⅰ）设满足题设的等比数列为,则，于是
.
因此=
因为所以即
.
故首项为1，公比为的等比数列是B-数列。
（Ⅱ）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列.
此命题为假命题。
事实上，设，易知数列是B-数列，但,
.
由的任意性知，数列不是B-数列。
命题2：若数列是B-数列，则数列是B-数列.
此命题为真命题.
事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的有
，
即。于是
，
所以数列是B-数列。
（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法）
（III）若数列是数列，则存在正数，对任意的有
；
，
注意到
.
同理， . 记，，
则有
.
因此
.
故数列是数列.
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