数学1:函数与极限
函数与极限
1、函数的有界性在定义域内有f(x)&geK1则函数f(x)在定义域上有下界,K1为下界如果有f(x)&leK2,则有上界,K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列xn不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列xn收敛,那么数列xn一定有界。
如果数列xn无界,那么数列xn一定发散但如果数列xn有界,却不能断定数列xn一定收敛,例如数列1,-1,1,-1,(-1)n+1…该数列有界但是发散,所以数列有界是数列收敛的要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列xn收敛于a,那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列xn有两个子数列收敛于不同的极限,那么数列xn是发散的,如数列1,-1,1,-1,(-1)n+1…中子数列x2k-1收敛于1,xnk收敛于-1,xn却是发散的同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
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