解放军文职招聘考试毕达哥拉斯学派

 毕达哥拉斯学派

　　这个学派是以贵族式的观念形态作为基础，与在当时撒摩斯岛(Samos，现土耳其西岸小岛)的古希腊民主制的观念形态，形成尖锐的对立，是具有神秘色彩的组织．领头人毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前572---前501)生于撒摩斯岛．关于毕达哥拉斯本人有很多传说，甚至很难判断哪些传说是符合实际的，哪些是虚构的．就连他的生卒年月也很难确定．

 

　　毕达哥拉斯年轻时期，游历了很多地方，特别是游访古埃及和古巴比伦等地，学习了一些数学知识，大约在公元前530年回国，开始组建学派．这个学派的主张和观念曾引起撒摩斯公民的不满情绪，毕达哥拉斯为了避开人们的舆论，只好离开自己出生的本土，逃往希腊的移民区阿佩宁半岛，并定居在克罗托那(Crotona)城，重新建立学派．由于毕达哥拉斯参与政治活动，后来被杀害．他死后，其门徒散居到希腊其他学术中心，继续传授他的教诲，达200年之久．

　　毕达哥拉斯首先研究了数学的抽象概念，希腊学者亚里士多德曾说，毕达哥拉斯学派把数看作是真实物质对象的终极组成部分．数不能离开感觉到的对象而独立存在，即早期毕达哥拉斯学派认为一切对象由(整)数组成，或者说数乃宇宙的要素．因为他们心目中的数就如同我们心目中的原子一样，把数看作是现实的本源，是严谨性和次序性的根据，是在宇宙体系里控制着天然的永恒关系，企图用数来解释一切．甚至认为万物都包含数(整数)，且万物也都是数(整数)．对周围观察到的现象，也都是用数的关系来说明．例如，当听到悦耳的音乐时，觉察到“和声”谐音，毕达哥拉斯学派认为只能用3根弦才能发出此音，其长度之比为3∶4∶6，并在很多场合，也都发现这种比例关系，立方体的面数、顶点数、棱数的比为6∶8∶12．

　　由于毕达哥拉斯学派赋予数如此重大的意义，因此，毕达哥拉斯学派非常注意研究数，也就是开始研究数的理论，研究数的性质，而注重实际的计算．

　　毕达哥拉斯学派首先使用了更加方便的记数系统，采用了腓尼基人所用的希腊字母表中的字母并增加某些腓尼基的字母来表示数．现仅举数码1---9的表示法(为了把数与字母区分开，在字母的上面画一横线)．

 

　　毕达哥拉斯学派还依据几何和哲学的神秘性来对“数”进行分类，按照几何图形分类，可分成“三角形数”；“正方形数”；“长方形数”；“五角形数”等等．如图3．2

 

　　实际上，以上各种类型的象形数，可从等差级数和导出来．

　　

　　1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n2 (正方形数)

　　2＋4＋6＋……＋2n=n(n＋1) (长方形数)

　　

　　例如，正方形数的图形可分为小正方形和曲尺形(gnomon)，反复分割，小正方形内一点和曲尺形内点的和，即是奇数系列之和：1+3+5+……

 

　　毕达哥拉斯学派还把“数”分成“完全数”和“相亲数”．如果一个数除其本身外的所有因数的和等于这个数，那么这个数就叫“完全数”．例如，6是完全数，因为它的每个因数之和为6，即：6＝1＋2＋3．若两个数中每个数的因数的和等于另一个数，这两个数叫做“相亲数”．按此定义，220和284是相亲数．因为220的因数之和为：1＋2＋4＋5＋10+11+20＋22＋44＋55＋110＝284，而284的各因数之和为：1＋2＋4＋71＋142=220．毕达哥拉斯学派还声称：“谁是我的朋友，就应该像数220和284一样．”

　　毕达哥拉斯发现了著名的“勾股定理”．但是，在什么情况发现的？怎样证明的？说法不尽一致．普罗克洛斯在注释欧几里得《几何原本》第1卷题47时，说得也不明确，指出在古代历史上有各种传说，据说这个定理是毕达哥拉斯发现的，毕达哥拉斯为了庆贺自己的业绩，杀了一百头牛．普洛塔克(Plutarch，约46---120)也有类似的说法，指出毕达哥拉斯是用填加面积的方法证明“勾股定理”的．

　　在直角三角形中，二条直角边分别为a，b，斜边长为c，以a＋b为一边画正方形，这样，在此正方形中，含4个直角三角形、一个以a为边的正方形和一个以b为边的正方形，如图3．4(a)

 

　　另外，再画一个以a＋b为边长的正方形，如图3．4(b)经过分割，这个正方形含有4个直角三角形和1个边长为c的正方形．因为两个正方形(即(a)和(b))面积相等，各减去同样的4个直角三角形的面积，立刻得到：

a2＋b2＝c2．

　　毕达哥拉斯学派通过“勾股定理”揭示了直角三角形三边之间的关

 

 

度，其“证明方法”用现代符号可叙述为：

　　

于是根据毕达哥拉斯定理得：p2＝2q2．由于p2是偶数，p必为偶数 

p既然是偶数，可设p＝2α，于是p2＝4α2=2q2．因此，q2＝2α2，这样，q2是偶数，于是q也是偶数，但q同时又是奇数，产生矛盾．

　　实际上，毕达哥拉斯学派发现“勾股定理”之后，很容易过渡到对新数---无理数的发现，但毕达哥拉斯学派认为这违背了他们的信条(世界上一切都是由整数和整数之比构成)，相传毕达哥拉斯学派成员在海上游玩，把无理数的宣传者希帕索斯(Hippa－sus，约公元前5世纪)推到波涛汹涌的大海里．希腊人称不可公度量之比为αλoγos(algos，意即不能表达)，当时，人们都在回避这种量，导致了数学史上的第一次危机．

　　毕达哥拉斯学派还研究了关于正多边形和正多面体的作图问题，尤其是首先完成了正五边形的作图，为解决正多边体的作图问题奠定了基础．毕达哥拉斯学派曾作出了当时所有可能的正多面体：具有4个等边三角形面的正四面体，具有8个等边三角形面的正八面体，由20个正三角形围成的正二十面体，由6个正四边形围成的正六面体，由12个正五边形围成的正十二面体．毕达哥拉斯学派认为这些都是“宇宙图形”，将四面体称为火；八面体称为气；二十面体称为水；六面体称为土；十二面体称为宇宙．他们认为在整个几何体中最优美的是球．

　　毕达哥拉斯学派在对数学的发现中，不断追求“美”的形式．他们认为日、月、五星都是球形，浮悬在太空中，这是最完美的立体，而圆是最完美的平面图．就是曾被誉为“巧妙的比例”，并染上各种各样瑰丽诡秘色彩的“黄金分割”也是这个学派首先认识到的．

 

　　综上，使我们认识到，毕达哥拉斯学派对于研究解决数学问题的方法，发挥了很大作用．他们规定在数学中必须坚持严格证明，对数学的发展具有特殊意义．