解放军文职招聘考试诡辩学派

 诡辩学派

　　“诡辩”(Sophism σóφτσμα)一词含“智慧”之意，诡辩学派也译作“哲人学派”或“智人学派”．

　　诡辩学派主要是以讲授修辞学、雄辩术、文法、逻辑、数学、天文等科为职业，也经常出入群众集会场所，发表应时的演说等，其代表人物是普洛塔哥拉斯(Protagoras，约公元前481---前411)，哥尔基亚(Gorgias，约公元前487---前380)安蒂丰(Antiphon，公元前480？---前411)等．

　　值得注意的是，数学历史中著名的“三大几何难题”的研究始于诡辩学派．“三大几何难题”虽然不能精确求解，对其研究和探索，却引出了大量的数学发现．

　　(1)倍立方问题，即求作一立方体，使其体积是一已知立方体的2倍．

　　关于这个问题的产生众说纷纭其中有一种说法是，在第罗斯(Delos)岛上，瘟疫不断蔓延，岛上的人求教于巫神，巫神告诉他们应把现有立方祭坛加倍．这就产生了“倍立方问题”，也称“第罗斯问题”．

　　这个问题，实际上是已知立方体的边长为a，求作边长为x的立方

 

　　诡辩学派试图利用直尺(没有刻度)和圆规作出图形，据说希腊毕达哥拉斯学派的希波克拉底(Hippokrates，约公元前470---前430)曾把倍立方问题归结为求线段a与2a之间的两个等比例中项，不妨用现代数学符号表示，设：x，y为两个比例中项，有：

　　a∶x＝x∶y＝y∶2a

　　∵a∶x=x∶y 则：x2=ay (1)

　　∵x∶y＝y∶2a 则：y2=2ax (2)

　　由(1)和(2)，消掉y，则：x4=2a3x，∴x3＝2a3即为所求．

　　虽然希波克拉底没能根据所谓“几何作图法”(只用没有刻度的直尺和圆规，分别只能画直线和圆)求出x、y，但是他把立体问题转化到平面中来解决，这种思考方法是难能可贵的，是希波克拉底的重要贡献，为后人用二个矩(直角尺)作出a与2a两个等比中项奠定了基础．

　　倍立方问题虽然不能精确求解，但希腊人对它的研究与探索，推动了数学的发现．例如，门奈赫莫斯(Menaechmus，约公元前4世纪中叶)给出了这个问题的两种解法，由此发现了圆锥曲线．下边简述门奈赫莫斯的解法：

　　① 作两条有公共顶点的、其轴互相垂直的抛物线，并且使得其中一个的正焦弦为另一个的2倍．设x表示从两条抛物线的另一个交点向较小的抛物线的轴所作垂线之长．于是，以x为边的立方体的体积等于以较小的正焦弦为边的立方体的体积的2倍．(用现代解析几何证明这种作图法是正确的．)

　　② 作一正焦弦为s的抛物线，然后作一横截轴等于4s且以抛物线之轴为其渐近线的等轴双曲线，并且过抛物线顶点作其切线．设x为从两条曲线的交点向抛物线的轴所作垂线之长，则x3＝2s3．(用现代解析几何证明这种作图法是正确的．)

　　另外，狄俄克利斯(Diocles，公元前2世纪)在解决这个问题时，发现了蔓叶线．

　　(2)任意角三等分问题

　　按希腊时期几何作图法的要求，①直尺只能做连结两点的直线之用；②圆规只能做画圆之用，不许作分度计或量长度之用．在这两个条件限制下，任意角三等分是不可能的．

　　希腊学者把任意角三等分问题归结为斜向问题，对它研究与探索，发现了蚌线等等．

　　如果没有几何作图法的限制，任意角三等分问题当然可以解决，三等分法有几十种之多，不妨举两个例子．

 

　　如图3．6所示，首先将直尺三等分，分点是D和E，取直尺DR过B点垂直于PQ，垂足是D．以DQ为直径，E为圆心画半圆，与BC边相切于F．△BPE是等腰三角形，BD⊥PE，∴∠PBD＝∠DBE，另外，BD和BF是从圆外一点B引出的两条切线，则∠DBE＝∠EBF．所以，∠PBD=∠DBE=∠EBF，这便将∠ABC三等分了．

　　如图3．7，在已知∠ABC的一边AB上，取一点D，引DE垂直于BC，DF平行于BC，取一直尺，上面刻上三点P，Q，R，且PQ＝QR＝DB，直尺通过点B(DE过点P，DF过点R)，由此，△PDR是直角三角形，且Q是斜边PR之中点，PQ＝DQ=RQ，∴∠DQB＝2∠BRD，又∵PQ＝QR＝DB，∴DQ＝DB，∴∠DQB＝∠DBQ．另外，DF∥BC，∴∠BRD＝∠RBC，故∠DBQ＝2∠RBC，直线BR是∠ABC的三等分线．

　　上面二种作法都能将任意角三等分，但是，已经突破了希腊时期的“初等几何作图法”的要求．

 

　　若用代数思想解释这两个古老问题，也是很清晰的．实际上，倍立方和任意角三等分问题，都是属于求解三次方程问题．直尺画出的直线可表示为一次方程

ax＋by＋c＝0

　　而用圆规画圆，其方程可表示为二次方程

x2+y2＋ax+by+c=0

　　仅用直线和圆构成的图形是不能求解三次方程的．因此，用初等作图法解决如上两个问题是不可能的．

　　(3)化圆为方问题．即：求作一正方形，使其面积等于一已知圆．

　　远在公元前1800年，古代埃及人就取正方形的边长等于给定圆的直

 

　　希腊时期的希波克拉底(Hippocrates)成功地求出了某些特殊的由两个圆弧围成的月形面积，当然没有解决化圆为方问题，但确实解决了一个有关的问题．设ABC是一等腰三角形(图3．8)，并设它内接于中心为O的半圆，设AEB是以AB为直径的半圆．则有：半圆ABC的面积∶半圆AEB的面积E＝AC2∶AB2＝2∶1，所以，OADB的面积等于半圆AEB的面积．现在把两者的公共面积ADB去掉，则有月牙形(阴影部分)的面积等于三角形AOB的面积．

 

　　上边的例子说明希波克拉底从探索曲边形面积与直边形面积相等的思路，试图来解决“化圆为方”的问题．

　　希波克拉底另一个月形求积问题是，设ABCD等于以AD为直径的圆的内接正六边形的一半．作该圆与以AB为直径的半圆之间的月形．试证明：梯形ABCD的面积等于该月形面积的3倍加上以AB为直径的半圆的面积．

　　若取消作图工具的限制，“化圆为方”问题也是可以解决的．欧洲文艺复兴时代的大师达·芬奇(L．Davinci，1452---1519)曾创建用圆柱来解决化圆为方问题的巧妙方法．取一圆柱，使底和已知圆相等，高是半径之半，将这圆柱在平面上滚动一周，产生一个矩形，使矩形的 形．

　　2000多年来，“三大几何难题”显现出经久不息的魅力，无数具有聪明才智的有志之士曾做出不懈的努力，都未如愿以偿．直到1637年，法国数学家笛卡儿(Descartes，1596---1650)创建解析几何，尺规作图的可能性才有了准则．1837年，数学家凡齐尔(P．L．Wantzel，1814---1848)给出了“倍立方”，“任意角三等分”不可能性的证明．1882年，数学家林德曼(F．Lindemann，1852---1939)证明π的超越性，“化圆为方问题”的不可能也得以确立．1895年，克莱因(F．Kline，1849---1925)给出了三大几何难题不可能用“初等几何作图法”解决的简单而明晰的证明，彻底解决了2000多年的悬案．

　　值得注意的是，随着人们对“几何三大难题”的研究，激发了人们对数学新概念的研究和探索，例如，对圆锥曲线，三、四次代数曲线及割圆曲线等等的发现，就是在寻求解决“几何三大难题”中应刃而生的．对数学理论的发展，也是有重要作用的．譬如，在对“化圆为方”的研究中，希腊学者安蒂丰先作圆内接正方形，将边数加倍，得内接正八边形，再加倍，得正十六边形，这样继续下去，最后的正多边形必与圆周相合．也就是多边形与圆的“差”必会“穷竭”，于是可以化圆为方了．结论虽然是错误的，但提出了一种有重要价值的“穷竭法”，它是近代极限理论的雏形．