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解放军文职招聘考试祖冲之父子的数学工作

来源: 2017-11-22 19:21

 祖冲之父子的数学工作

  1.祖冲之父子生平

 

  祖冲之(429---500),河北人,后迁居江南,生活于南朝的宋、齐之间.父亲祖朔之曾在刘宋朝中为官.祖冲之自幼好学,尤喜历、算.青年时曾任南徐州(今镇江)从事史,后来回建康(今南京)任公府参军.他的行政事务虽多,仍利用工余时间进行大量科学研究.他对前代历法进行仔细的分析比较,对八尺高标杆的日影长度坚持观测达十年之久,在此基础上于大明六年(462)完成《大明历》,书中首次应用了岁差理论,是当时中国最先进的历法.但他把该历呈送朝廷后,由于保守势力的阻挠,未能及时推行.大明八年(464)后,祖冲之出任娄县(今江苏昆山)令,刘宋末年再度被调回建康,任谒者仆射(一种司礼节的官).齐灭宋后又在齐为官,晚年升到长水校尉,享受四品奉禄.曾造指南车、千里船、水碓磨、刻漏等,远近驰名.数学方面,他曾给《九章算术》作注,并与其子祖暅共同完成数学史上的名著---《缀术》(已佚)

  祖暅曾在梁朝先后担任员外郎、材官将军等职.他多次向朝廷建议修改历法,采用他父亲的《大明历》,经太史令实测天象、考验新旧历法后,政府终于在天监九年(510)采用了《大明历》.天监十三年(514),祖暅奉命在淮河上指挥修筑浮山堰,因被洪水冲毁而获罪入狱.他出狱后不久,在南朝边境被北魏军队俘获,软禁于元延明家,在那里遇到北魏天文学家信都芳,两人常在一起讨论天文和数学.梁普通七年(526),祖暅南还.他除了和父亲共同完成《缀术》外,还自著《天文录》、《权衡记》等,已失传.

  2.祖冲之的圆周率

  继刘徽之后,祖冲之为求得更精确的圆周率而作了艰苦卓绝的努力.据《隋书》记载,他已算得

31415926<π<3.1415927

 

  祖率和密率,都是当时世界上的最好结果.祖率已精确到七位小数,保持世界纪录近千年.至于密率,堪称数学史上的奇迹.它的特点是既 都是准确的.比密率更接近π的分数,其分母比113大得多.可以证明,

  祖冲之是怎样求圆周率的?这个问题至今还是个谜.因为他的数学著作《缀术》已失传,《隋书》中则只有结论而无求法.据一些史料推测,他可能继承了刘徽的割圆术,通过增加圆内接正多边形的边数来求得更精确的圆周率值.实际上,只要用割圆术求得圆内接正24576(3×213)边形面积,就可以得到祖率.祖冲之用不足近似值和过剩近似值两数来限定π,这种思想可能也受到刘徽的影响.

  3.祖暅原理与球体积公式

  刘徽开辟了通向球体积公式的正确道路但没有达到目标.祖冲之父子在这条路上继续前进,终于完成了刘徽的未竟之业.祖冲之与戴法兴辩论时曾说:“至若立圆旧误,张衡述而弗改……此则算氏之剧疵也.”可见他对球体积问题进行过深入研究.至于他是否解决了这一问题,不见记载.但根据唐代李淳风注《九章算术》“开立圆术”时引用的资料来看,祖暅确实解决了这一问题.他很可能是在父亲工作的基础上取得突破的.

  祖暅在研究球体积时继承了刘徽的思想,抓住关键性的牟合方盖的体积计算.但他吸取了刘徽的教训,不再直接求方盖体积,而是首先研究立方体内除去牟合方盖的部分.他利用了图形的对称性,着重研究这   

面面积为R2h2(423(1)),因为内外棋截面和等于R2,所以高h处的外棋截面为h2(423(2)).再作一个底边和高都是R,且有一条棱垂直于底面的倒立四棱锥,则梭锥在高h处的截面也是h2(423(3)).祖暅研究了各体积的关系,提出“幂势既同,则积不容异”的原理.其中“幂”是面积,“势”是关系,“积”是体积.这句话的意思是:在两立体中作与底平行的截面,若截面积处处相同,则两立体体积相等.这一原理可称为“祖暅原理”,是刘徽原理的特例.西方称此为“卡瓦列里原理”,因为它曾被17世纪的意大利数学家卡瓦列里(BCavalieri1598---1647)重新发现.

 

  根据祖暅原理,很容易得到外棋与倒立四棱锥体积相等的结论,而

    

  这便是正确的球体积公式.自《九章算术》以来,历经四个多世纪,这一问题终于得到圆满解决.在祖暅之前,阿基米德曾用平衡法求得球体积公式,两人的工作是各具特色、殊途同归的.

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