解放军文职招聘考试祖冲之父子的数学工作

 祖冲之父子的数学工作

　　1．祖冲之父子生平

　　祖冲之(429---500)，河北人，后迁居江南，生活于南朝的宋、齐之间．父亲祖朔之曾在刘宋朝中为官．祖冲之自幼好学，尤喜历、算．青年时曾任南徐州(今镇江)从事史，后来回建康(今南京)任公府参军．他的行政事务虽多，仍利用工余时间进行大量科学研究．他对前代历法进行仔细的分析比较，对八尺高标杆的日影长度坚持观测达十年之久，在此基础上于大明六年(462)完成《大明历》，书中首次应用了岁差理论，是当时中国最先进的历法．但他把该历呈送朝廷后，由于保守势力的阻挠，未能及时推行．大明八年(464)后，祖冲之出任娄县(今江苏昆山)令，刘宋末年再度被调回建康，任谒者仆射(一种司礼节的官)．齐灭宋后又在齐为官，晚年升到长水校尉，享受四品奉禄．曾造指南车、千里船、水碓磨、刻漏等，远近驰名．数学方面，他曾给《九章算术》作注，并与其子祖暅共同完成数学史上的名著---《缀术》(已佚)．

　　祖暅曾在梁朝先后担任员外郎、材官将军等职．他多次向朝廷建议修改历法，采用他父亲的《大明历》，经太史令实测天象、考验新旧历法后，政府终于在天监九年(510)采用了《大明历》．天监十三年(514)，祖暅奉命在淮河上指挥修筑浮山堰，因被洪水冲毁而获罪入狱．他出狱后不久，在南朝边境被北魏军队俘获，软禁于元延明家，在那里遇到北魏天文学家信都芳，两人常在一起讨论天文和数学．梁普通七年(526)，祖暅南还．他除了和父亲共同完成《缀术》外，还自著《天文录》、《权衡记》等，已失传．

　　2．祖冲之的圆周率

　　继刘徽之后，祖冲之为求得更精确的圆周率而作了艰苦卓绝的努力．据《隋书》记载，他已算得

3．1415926＜π＜3.1415927．

　　祖率和密率，都是当时世界上的最好结果．祖率已精确到七位小数，保持世界纪录近千年．至于密率，堪称数学史上的奇迹．它的特点是既 都是准确的．比密率更接近π的分数，其分母比113大得多．可以证明，

　　祖冲之是怎样求圆周率的？这个问题至今还是个谜．因为他的数学著作《缀术》已失传，《隋书》中则只有结论而无求法．据一些史料推测，他可能继承了刘徽的割圆术，通过增加圆内接正多边形的边数来求得更精确的圆周率值．实际上，只要用割圆术求得圆内接正24576(即3×213)边形面积，就可以得到祖率．祖冲之用不足近似值和过剩近似值两数来限定π，这种思想可能也受到刘徽的影响．

　　3．祖暅原理与球体积公式

　　刘徽开辟了通向球体积公式的正确道路但没有达到目标．祖冲之父子在这条路上继续前进，终于完成了刘徽的未竟之业．祖冲之与戴法兴辩论时曾说：“至若立圆旧误，张衡述而弗改……此则算氏之剧疵也．”可见他对球体积问题进行过深入研究．至于他是否解决了这一问题，不见记载．但根据唐代李淳风注《九章算术》“开立圆术”时引用的资料来看，祖暅确实解决了这一问题．他很可能是在父亲工作的基础上取得突破的．

　　祖暅在研究球体积时继承了刘徽的思想，抓住关键性的牟合方盖的体积计算．但他吸取了刘徽的教训，不再直接求方盖体积，而是首先研究立方体内除去牟合方盖的部分．他利用了图形的对称性，着重研究这   

面面积为R2－h2(图4．23(1))，因为内外棋截面和等于R2，所以高h处的外棋截面为h2(图4．23(2))．再作一个底边和高都是R，且有一条棱垂直于底面的倒立四棱锥，则梭锥在高h处的截面也是h2(图4．23(3))．祖暅研究了各体积的关系，提出“幂势既同，则积不容异”的原理．其中“幂”是面积，“势”是关系，“积”是体积．这句话的意思是：在两立体中作与底平行的截面，若截面积处处相同，则两立体体积相等．这一原理可称为“祖暅原理”，是刘徽原理的特例．西方称此为“卡瓦列里原理”，因为它曾被17世纪的意大利数学家卡瓦列里(B．Cavalieri，1598---1647)重新发现．

　　根据祖暅原理，很容易得到外棋与倒立四棱锥体积相等的结论，而

　　这便是正确的球体积公式．自《九章算术》以来，历经四个多世纪，这一问题终于得到圆满解决．在祖暅之前，阿基米德曾用平衡法求得球体积公式，两人的工作是各具特色、殊途同归的．