印度数学
第一节 综述
印度是世界上文化发达最早的地区之一．印度的早期历史分为史前时期(又称前哈拉帕时期，公元前2300年以前)和印度河文明时期(又称哈拉帕时期，公元前2300—公元前1750)．在印度次大陆的大片地域内，均大量发现石器时代晚期的遗址．这些遗址表明，早在公元前6000至3000年，印度居民过着狩猎采集生活．从公元前3500年俾路支最早出现居民点到公元前2300年印度河城市文明的兴起，大体可以分为半游牧、畜牧业发达和地域性村社三个阶段．公元前2300年左右，前哈拉帕文化结束，印度河文明开始．印度河文明是当地居民在特定环境中的卓越创造，至今已发现70多处遗址，最著名的是摩亨卓·达罗(在信德)和哈拉帕(在旁遮普)．摩亨卓·达罗的遗址清楚地显示出城市营建的统一规划．在建筑遗迹和某些遗物如彩陶、雕塑品、贝壳和各种材料作成的印章上刻有一些古代铭文．这些保存完好的古代铭文显示了哈拉帕文化的高度发达，而从贝壳上刻的算术线条可以推断，数学知识的某些积累是哈拉帕文化的成分之一．公元前1750年左右，印度河文明开始衰落．
印度最古老的历史文献是印度—雅利安人的作品《吠陀》．《吠陀》所记载的时代称为吠陀时代．在这个时代的前期，印度—雅利安人活动在印度西北部，而在其后期，印度—雅利安人进入恒河中下游地区．在其内部，出现了婆罗门、刹帝利、吠舍、首陀罗四个种姓．不久，部落共同体逐渐过渡到地区性共同体，奴隶制国家开始形成．公元前6至前5世纪，印度东部出现了十六个国家．佛教和耆那教开始成为占有重要地位的两大宗教．公元前327年亚历山大侵入印度，不久即撤退．前325年旃陀罗·笈多推翻难陀王朝，建立了孔雀王朝，几乎在整个印度次大陆建立了中央集权的统治．阿育王是这个王朝最有作为的皇帝，他大力提倡佛教，并向邻国派出传教使团．公元前185年该王朝灭亡，继之而起的是巽伽王朝．公元前150—公元300年，印度次大陆陷于混乱．北印度的笈多王朝(320—540)开始了印度的古典时期，印度的经济、文化空前繁荣．在这一时期产生了很多重要的科学文献，出现了一批著名的天文学著作，其中包括大量的数学知识．
6—7世纪，在印度形成了特殊形式的封建主义，种姓制度得到进一步发展．大量的属于最低种姓的贱民——“不可接触者”的生活处境十分艰难，这促成了八世纪阿拉伯人入侵信德地区后伊斯兰教的传播．与伊斯兰国家的联系对印度科学的进步有重要意义．7至8世纪印度学者的著作已为阿拉伯哈利发所了解．11世纪初，伽色尼王国的马哈茂德入侵；12世纪后期，古尔王国控制了北印度．
1206年，古尔王国驻印度的总督自立为苏丹，建立奴隶王朝，开始了长达300多年的德里苏丹时期．这一时期形成了中央集权的穆斯林政治体系，伊斯兰文化大量引进．在南印度，14世纪出现了两个强国，穆斯林统治的巴赫马尼王国和印度教徒统治的维查耶那加尔王国．1526年巴伯尔率军占领德里，建立莫卧儿帝国．从此，印度分散的教派、分散的村社走上了民族统一的道路，成为当时世界上最富有、最强大的国家之一．
在这样复杂的历史条件下，科学的发展在各时期不同程度地受到政治动乱的抑制，但自古以来数学始终是很受重视的科目．相传，佛祖悉达多·乔达摩(即释迦牟尼，公元前623—前544)幼时受传统的婆罗门教育，用八年时间专门学习语文和数学．在印度数学的发展始终与天文学联系在一起．数学著作大都是天文学著作中的某些篇章．
最早的数学著作《绳法经》(S．ulvasūtras)出现在吠陀时代，它包含在古代婆罗门教的经典中，专讲祭祀礼仪，其中包含毕达哥拉斯定理等数学知识．在以后的大约1000年中，缺少可靠的史料，数学的发展所知甚少．公元500年以后，印度数学获得了较大的发展，印度数学的成就在世界数学史上占有重要地位．许多数学知识由印度经阿拉伯国家传入欧洲，促进了欧洲中古时期数学的发展．
由历史资料提供的情况断定，希腊和印度两国之间科学知识有一定的交流，但是每一个民族都按照自己的风格或习俗发展科学．希腊人和印度人发展数学的道路在许多方面都不相同．希腊数学遵循着严格的逻辑叙述，所以几何学获得了重大的发展．印度人则相反，不去求得严格的证明，而主要是发展实用的数学，因此算术、代数和三角具有优势．
在5至16世纪，印度出现了许多著名的天文学家兼数学家和一批杰出的著作．这些著作都是用印度的宗教和官方语言梵文写的，就象伊斯兰国家中的阿拉伯语和中世纪西欧的拉丁语一样．印度数学著作的最大特点是叙述得过于简练，命题或定理的证明常被省略．运算法则的表述也极简短，又常常以诗歌形式出现，再加上浓厚的宗教色彩，致使这些著作更加晦涩难读．
I，476—约550)．他是在印度首先运用代数方法的人．499年，他用 书》)．这部著作是印度历数书天文学的一次系统化，并概述了当时的数学知识．书中大部分讨论天文学和球面三角学，也介绍了算术、代数和平面三角中的若干法则．他还算出了π的近似值3．1416．
瓦拉哈米希拉(Varāha－Mihira)是6世纪著名学者．他通晓哲学、天文学和数学，是《五大历数全书汇编》的作者．此书是希腊、埃及、罗马和印度天文学的一部提要，最重要的一部分是《太阳的知识》．(Sūrya Siddhānta)．其内容并不是有关太阳的知识，而是由太阳神传授的知识，具有神话色彩．另外还包括四部历数书．这部著作的计算图表是以希腊算法和亚历山大算法为基础推算的．
婆罗摩笈多(Brahmagupta， 598—约665)是7世纪最著名的天文学家，在印度中部城市乌贾因工作．628年他写了一部《婆罗摩修正体系》(Brāhmasphutasiddhānta，西方又译《宇宙的开端》)．其中以诗的形式叙述了印度天文体系，有两章是讲数学的，包括等差级数，二次方程和各种有关面积、体积的几何定理的证明．他大量地把代数应用于天文学．
千余年内印度最有成就的数学家是婆什迦罗 Ⅱ(Bhāskara，1114—1188)．他作为古代印度最重要的数学中心乌贾因天文台的领导人，是婆罗摩笈多的嫡系继承人．他所著《天文系统极致》(Sinddhāntaāsiromani，1150)可以认为是印度数学的最高成就．《天文系统极致》包括四部分，第一部分名为《丽罗娃提》(Lilāvati)，主要内容讲算术．“丽罗娃提”意为美女，对此有两种解释，一种认为婆什迦罗Ⅱ以此书献给其女儿，另一种则认为作者把数学本身比喻为美女．第二部分为《种籽计数论》，内容为代数学．其余部分是讲述天文学的．婆什迦罗Ⅱ继承了婆罗摩笈多和其他前辈的工作，填补了他们的许多缺漏．《丽罗娃提》共有13章．第1章给出几个计算表；第2章讲述整数和分数运算，包括计算平方根和立方根；第3章介绍解算术问题的各种方法(如单设法等)；第4章讨论来自希腊和中国的应用问题；第5章给出一些算术级数的求和法；第6—11章的内容是几何学，主要是面积和体积的计算和一些可以化为线性方程的实际问题；第12章讲述不定分析；第13章是组合学的内容．《种籽计数论》由8章组成，其内容是关于一次和二次代数方程的理论．他和婆罗摩笈多一样，也引用了大量的缩写符号．其第一章叙述正负数法则：第2—3章是一次和二次整系数不定方程的解法；第4章讲一元和多元线性方程组；第5章研究二次方程，并给出毕达哥拉斯定理的两个证明；第6章包含一些线性不定方程组的实例；第7—8章补充了二次不定方程的内容．
婆什迦罗Ⅱ的《天文系统极致》在印度有很大的影响，他的嫡孙在13世纪创建了一个专门研究此书的学派，以后的400多年间有许多数学家对此书进行了注释．
除了以上介绍的几位最著名的学者及其著作外，下文将要提到的数学家还有阿耶波多Ⅰ的主要继承人婆什迦罗Ⅰ(Bhāskara Ⅰ，629年在世)；9世纪在南印度迈索尔工作的马哈维拉(Mahāvira，约850)；著有《计算精华》(Ganita－Sāra－sangraha)，内容十分丰富；活跃在9—10世纪的数学家有施里德哈勒(Srīdhara)和阿耶波多 Ⅱ(Aryabhata Ⅱ)；14—15世纪著名的数学家有纳拉亚讷(Nārāyana，约1356)和尼拉坎塔(Nīlakantna，约1444—1501之后)等等．
1881年，在西北印度巴赫沙里附近出土了一部无名氏著的算术和代数手稿，其准确时间尚未确定，多数学者认为是6—8世纪的作品．我们称之为《巴赫沙里手稿》．其中论述了不定方程和不尽根逼近等问题．
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