解放军文职招聘考试算术

 算术

　　十进位值制记数法的使用和印度-阿拉伯数码的出现，不仅在数学史上，而且在全人类文化史上都具有十分重要的意义．这种记数法的产生和完善经历了相当长的时期．

　　在十进位制记数系统产生以前，在印度出现过各种不同的数字和记数法，有些地区使用的数字保持到很晚，现在很难研究出它们之间的承袭关系．从公元前4世纪到公元3世纪，在现今的东阿富汗地区和旁遮普北部风行所谓的音节数字(图5．5)与当时的古印度音节文字有关．这可能是一种十进非位值制系统．数字1，4，10，20和100用特殊记号表示，其它数由加性原则写出，数字从右往左书写．

 

 　

　　很久以来在印度广大领土上传播着婆罗门数字，这是十进位记数法发展的较高阶段，这种数字形式保持了一千多年(图5．6)，佛教和婆罗门数字一起传入其它国家，在个别地区，这种数字一直风行到19世纪．

　　一般说来，在印度的各种数字系统中，至少从公元前2世纪起，数字1，2，…，9就存在单独的符号，这些特殊符号的存在是产生十进位值制记数法的基础．单位1出现在表示单数事物如“太阳”、“月亮”的词语中；而数字2出现在“双生子”，“眼睛”，“手”这类词语中；数字5出现在“感官”(即五官)，“手掌”中等等．数字的书写是从低位向高位，古印度历数书中的天文表就这样表示数字，缺位时用特殊符号标出．

　　阿耶波多Ⅰ的著作中用音节表示数字，完全没有位值制的特点．每一个数k·10n(k＝1，2，…，9；n＝0，1，2，…)都被特殊音节所代替，丰富的梵文字母能够给充分大的数字命名．但是，他的学生——婆什迦罗Ⅰ(Bhāskara Ⅰ， 629)却改进了这种记数法，使数字的音节具有位值性，他还引进了表示空位的音节．

　　大约在6世纪上半叶改变了数字中数位的书写顺序，开始从高位向低位书写，这可能是受希腊人的影响．位值制记数原则包含这样三个因素：1．每一位数都由该数位单位乘以相应的数字；2．省略每个数位单位的符号；3．用确定的符号(零号)表示任何数位上的空缺．所有这些因素在印度首先是局部地、口头地应用，然后过渡到广泛地、文字上的普及．不晚于6世纪，在印度产生了新的、整数的十进位值制记数法，即用九个数字和表示零的小圆圈可以写出任何数字，每个位置上的数字有明确意义，同一个数字在不同位置上则代表不同数值．

　　7世纪中叶，印度的记数法开始向西方传播．8世纪末，这种记数法传入巴格达哈利发的宫廷中，印度数字经阿拉伯人的改进传入欧洲后就被称为印度—阿拉伯数字了．

　　在印度的算术文献中记载了整数和分数的八种运算：加法、减法、乘法、除法、平方、开平方、立方和开立方．某些运算是有明确定义的．例如，阿耶波多Ⅱ(AryabhataⅡ，950—1100之间)定义加法是把一些数合并为一个数，而减法则是从一个数中拿掉其中一部分．这些定义在很晚以后欧洲的教科书中还采用．婆什迦罗Ⅰ援引早期无名氏教师的话，认为乘法和除法可以相应地转化为加法和减法．

　　在古印度广泛使用计算板．梵文中“算术”一词就是由“计算”和“板”两个词复合而成．但是在更早的时期，稍复杂的运算是在用贝壳作成的古算盘上进行．计算人员手拿一个装有几百个长形贝壳的口袋，在算盘各栏中可以摆出数字1，2，…，9；还有12个圆形贝壳，用来表示零(这可能是较晚的事)．例如数字52077摆成图5．7的形状．斜线表示长形贝壳，圆圈表示零)．现在正统的佛教徒——婆罗门博学者还使用这种方法进行计算．

 

　　在使用算盘计算时，要记熟一些法则，即加法的进位和减法的借位．乘、除法则在加、减法的基础上进行．

　　记载算式的文献很晚才出现．在古代，凡是书写出来的数字不是为了进行计算，而是为记录经文中出现的年代．后来出现了文字运算，但只给出结果而没有中间步骤．这是因为当时的计算工具是一个铺满沙土的盘和一根削尖的木棍．字要写得比较大才能认清，这样在一个数起到它的作用后就把它擦掉，以保留书写空地．加法是从最高数位开始进行计算．例如345＋488是这样进行的：把一个数写在另一个数的下面，对齐数位，并在书写板的上端留出一些空地．计算员说，“3＋4＝7，把7写在最左一列的上头；然后，4＋8＝12，把7改为8，后面写上 2，因此7被擦去，而改为82；最后，5＋8＝13，把82中的2改为3，后面再写个3，就得到结果833”(图5．8)．

 

　　做乘法有几种不同的方式．比如，在沙土板上写出

 

　　首先，5×12，把5擦掉，写上60，

 

　　把乘数12向左移动一位

 

　　然后3×12，得36，把6加在1360的6上，擦去其中的6，写上2，记住往3上加1，把1360中的3改为4

 

　　再移动乘数12

 

　　最后1×12，把2加在4上，擦掉4，写上6，1字保留不动，得乘积为1620．

　　另一种计算乘积的方法，与我们现在的程序很接近．在计算板上画上彼此垂直的方格，再把每个格子都用同一方向的对角线分开，沿着格子的两个边写上乘数，中间的乘积写在右下方三角形中，需要进位时记在左上方三角形中，然后依对角线进行加法．还以135×12为例，这种方法的程序为

 

　　有时为了化简运算，采取一些简单变换，如

　　135×12＝135×(12＋8)－135×8

　　或

　　135×12＝135×(12-2)＋135×2．

　　印度人的算术运算方法，后来被阿拉伯人和欧洲人所采用．

　　带有数字0的运算是位值制系统计算的重要内容．印度人不仅仅把0看作是“一无所有”或空位，而且把0看成是一个数．这是印度算术的一大贡献．这种看法在3世纪时已经出现．在天文学家瓦拉哈米希拉 的加、减运算．一个多世纪以后，婆罗摩笈多在他的著作中有比较完整的叙述：“负数减去零是负数，正数减去零是正数，零减去零还是零；零乘正数、负数或零都是零．……零除以零空无一物，正数或负数除以零是一个以零为分母的数．”最后一种情形没有进一步说明．婆什迦罗Ⅱ把a÷0称为Khahara，与无穷大有相似的含义．

　　在印度算术中，分数也有较完整的理论．分数的写法与中国古代算筹分数记法一样，分子在上，分母在下，没有分数线．若是带分数，则整数部分又写在分子之上．例如

 

　　整数与分数运算时，把整数写成分母是1的分数．分数四则运算取用下列法则：

　　

　　在某些情况下，需要把一个分数化为几个单位分数之和，然后进行计算．

　　写出数字，在其奇数位的上方画出竖线，而在偶数位的上方画出横线

 

　　找出不超过5的最大平方数，即4，把它写在下一行，并从5中减去：

　　4 　　　　　　　　　　　　　　　　

　　用14除以4，商3余2，擦去14，写上2

　　4　　　　　　　　　　　　　　　　

　　从27中减去3的平方，即9，余18，擦去27，写上18．把3加倍后写在4的后面

　　46　　　　　　　　　　　　　　　　

　　重复上面步骤．185除以46，商4余1，擦去185写上1

　　46　　　　　　　　　　　　　

　　从16中减去4的平方，得零，擦去16，把4加倍写在46后面

　　468

　　最后把468除以2得234．这就是平方根．

　　这种程序与中国《九章算术》中开平方的计算步骤是不同的．对于 算．为了提高精确度，还可以在分子上乘上10的偶数次幂．

　　由于在计算板上运算不能保留中间运算步骤，所以印度学者采用一种称为弃9法的验算方法，它依据这样的事实：任何整数和它的各位数字之和除以9的余数相同．阿拉伯算术中也采用弃9法验算，这来源于印度，后来又传入欧洲．

　　在印度的算术著作中，有大量的丰富多采的以诗歌形式表述的算术问题．这些问题涉及假位法(单设法和双设法)、三位法、百分率和级数等方面．有大量来源于实践的问题，也有一些是纯粹作为消遣和娱乐的题目．

　　在这些问题中单设法占相当的比例．马哈维拉用单设法解决了大量的代数和几何问题．婆什迦罗Ⅱ也研究过这种方法，在《丽罗娃提》中有这样一个问题：“从一束清洁的莲花取出其三分之一、五分之一和六分之一，分别献给湿婆、毗瑟拏和苏利耶①，再给布赫瓦尼四分之一，只剩下6只莲花，送给尊敬的教师，请说出莲花的数目．”婆什迦罗Ⅱ设所求数为60，即3，4，5，6的最小公倍数，由此可术出应剩3只

　　在《巴赫沙里手稿》(6—8世纪)中，单设法不仅用于形如ax＝c的方程，还应用于形如

　　ax+b=c

的方程．当然，这时简单的比例性质已不成立．如设x1为所求数，由此得出

　　

　　在印度的数学文献中没有见到双设法．伊斯兰的数学文献中却广泛应用这种方法，而阿拉伯人却认为来源于印度．

　　三位法(The rule of three，тройное правила)在印度算术中占核心地位，它能够自由地解决各种实际问题．婆什迎罗Ⅱ甚至说，三位法作为一门科学是算术的实质，它与后来的需要推理和运算技巧的代数学相对照．三位法就是求形成下列具有三个已知数a，b，c的比例式

 

　　中的x．或如古代数学家所说，回答这样一个问题：“如由a能导出b，那么由c能导出什么数”．婆罗摩笈多说：“在三位法中，第一项与第三项必须是同类的(单位相同的数量)，第二项、第三项相乘，以第一项除得结果．”

　　婆罗摩笈多及较晚的作者提出了“反三位法”．即求比例

 

　　中的x．例如中世纪著名的工程问题：“a个人完成一项工作要用b天，问同一项工作c个人做要用多少天？”后来还出现了“五位法”、“七位法”、“九位法”和“十一位法”．以“五位法”为例，就是求满足比例式

 

理，七位法中就有三个三位法，如此类推．

　　三位法从印度传到西方，在几个世纪之内都是解决算术问题的主要方法，直到19世纪，欧洲的学校教育中才逐渐取消三位法．

第四节 代数学

　　印度人对代数学作出了重大贡献.他们用缩写文字和一些记号来描述运算.加法不用记号，被减数上面加个点表示减法.已知的整数，前面冠以rū(来自绝对数rūpa一词)；未知数称为yāvat tāvat，用音节yā来表示.如果遇到几个未知数，那么用各种颜色来区别：kā(kālaka，黑色的)、nī(nīlaka,蓝色的)、pī(pītaka，黄色的)、lo(lohitaka，红色的)等等.未知数的二次幂用varga一词的va这个音节来表示；三次幂用ghata的音节gha来表示．并且借助va和gha两个符号表示未知数的更高次幂：va va表示四次幂；va gha ghata表示五次幂；va gha表示六次幂；va va gha ghata表示七次幂；va va va表示八次幂；

　　 

　　yā va va 0 yā va 0 ya 0 rū 9999；

　　表示方程

　　x4-2x2＋400x＋0＝0x4＋0x2＋0x＋9999

　　yā 0 kā 0 nī 0 rū 6302

　　表示方程

　　197x-1644y-z＋0=0x＋0g+0z＋6302；

　　ka 6 ka 5 ka 2 ka 3

　　表示

　　

　　这套符号虽然不多，但足够使印度代数几乎称得上是符号代数，并且符号比丢番图的缩写代数用得多．

　　 的”，如同零，可能这是因为未知量是不确定的，它的位置是被想像的．等号用pha表示，是相应的单词phalam的第一个音节．类似于我们现在  面．对于乘法，各因子并列着写．一组数用线框起来相当于加括号的意义．例如

 

　　虽然印度学者创立的符号很笨拙，符号本身即梵文字母的形状很复杂，但是，他们的工作预示了新数学的发展方向．他们的后继者——阿拉伯国家和中亚地区的学者不仅没有前进一步，而且几百年来都是用“词语书写”来表示代数式及其运算．

　　这些缩写符号促进了代数学的发展．阿耶波多Ⅰ的著作中出现了一次方程的问题．他给出的方程相当于

　　ax+b=a1x+b1，

　　但没有求出它的解．阿耶波多Ⅰ的另一个问题很有趣．为确定两个按已知速度运动的星体相遇所需的时间，当两星体相向运动时，他说，应用距离除以速度之和；而当两星体同向运动时，应用距离除以速度之差．如用a表示两星体最初的距离，v1，v2分别表示两星体的速度，那么当同向运动时有

　　 

　　晚期学者的著作中，可以见到线性方程组的问题．印度数学家没有像中国古代学者那样建立解线性方程组的一般方法，而是把它们作为锻炼智慧的工具．例如，婆什迦罗Ⅱ提出这样一个问题：甲、乙二人各有若干卢比，若乙给甲100卢比，那么甲的卢比是乙的二倍；若甲给乙10卢比，则乙的卢比是甲的六倍，问甲、乙二人各有多少卢比？如列方程，则相当于

　　x+100＝2(y-100)，

　　y＋10＝ 6(x－10)．

　　婆什迦罗Ⅱ指出，如果甲有(2x-100)个卢比，那么在第一种情形下，乙应有(x＋100)个卢比．由此可化为具有一个未知量的方程

　　x+110=6(2x-110)．

　　这种引进辅助未知量的方法很像丢番图的方法(以(x＋100)代替第二个方程中之y，而以2x-100代替此方程中之x)．

　　印度代数的较大成就是引进了负数，当问题涉及到债务或反向运动时，印度人使用了负数，他们像运用正数一样运用负数．但是在有关一次方程的问题中没有见到负数解．

　　印度学者解二次方程的方法比丢番图优越．在《阿耶波提亚》中就有关于求解完全二次方程的问题．其中一个问题是根据算数级数的和S、第一项a和公差d求项数，相当于方程

　　dn2＋(2a-d)n=2S．

　　他用文字给出了一个正根．

　　婆罗摩笈多的著作对二次方程进行了详细的讨论，他的长足进步在于给出了解方程

　　ax2+bx+c=0

　　(a＞0，b、c可为负数)的一般方法．他用文字叙述的解法相当于公式

　　

　　施里德哈拉的方法略有不同，他首先把方程各项乘以4a，得到的解相当于

　　

　　在婆罗摩笈多的著作中，人们发现了对负数进行加法和减法的解释．他把正数称为“财产”，负数称为“债务”．加减法的运算法则是：“两个‘财产’之和是‘财产’，两个‘债务’之和是‘债务’，‘财产’和‘债务’之和是他们的差，而如果它们相等则和是零，‘债务’与零之和是‘债务’，‘财产’与零之和是‘财产’，两个零之和是零．”对于减法，婆罗摩笈多指出，“如果大减小，则‘财产’减‘财产’得‘财产’，‘债务’减‘债务’得‘债务’，如果小减大，则结果刚好相反，零减‘债务’得‘财产’，零减‘财产’得‘债务’，‘债务’减零得‘债务’，‘财产’减零得‘财产’；为了从‘债务’中减‘财产’或从‘财产’中减‘债务’，必需求出它们的和，前者应得‘债务’，后者应得‘财产’．”

　　婆罗摩笈多的法则本质上与中国古代《九章算术》的相同，但增加了

　　(＋a)＋(－ a)＝ 0，

　　0＋0＝ 0，

　　(±a)-0=±a．

　　在婆什迹罗Ⅱ的著作中出现了负数的乘、除法法则．即两个“财产”或两个“债务”之积是“财产”，“财产”乘“债务”是“债务”；除法相同．他还进一步说明了正数的平方根计算．他说，“财产”有两个平方根，一个是“财产”，一个是“债务”．这就给出了正数平方根的双值性．但对虚数没有认识，他声称“债务”不能是平方数．

　　由于婆什迦罗Ⅱ认识到了正数平方根的双值性，所以对于二次方程他也求出了两个根，但他并不是第一个发现这一事实的数学家，这要归功于九世纪上半叶巴格达学者花拉子米．

　　婆什迦罗Ⅱ的著作中有这样一个题目：“一群猴子在玩耍，其八分之一的平方数个猴子在树林中蹦跳，余下的12只猴子在山顶大声喊叫，请你告诉我一共有多少只猴子？”这个问题对应方程

 

　　经变换得

　　(x－32)2＝256．

　　婆什迎罗Ⅱ着重指出，32大于256的平方根，所以256的正负两个平方根对此问题都有意义，一般情形他是不取负根的．对于不合题意的正根，他也放弃不取．如问题“一群猴子的五分之一减三后再平方的数目躺在山洞里，只有一只猴子爬在树上，问共有多少只猴子”，这个问题相当于解方程

　　

　　在印度学者的著作中还发现一些可以化为二次方程的方程．例如婆什迦罗Ⅱ给出方程

　　

　　马哈维拉给出方程

　　

　　显然都可以通过变换化为二次方程．

　　在印度数学中，高次方程的解法没有什么进展．只出现几例简单的，或经变换后化为简单的三次或四次方程．婆什迦罗Ⅱ给出下列两个方程

　　x3-6x2＋12x＝35，

　　x4－2x2－400x＝9999．

　　经变换后分别化为

　　(x－2)3＝27

　　和 (x2＋1)2＝(2x＋100)2

　　在婆什迦罗Ⅱ的著作里出现了无理数和无理式的运算．他把无理数和有理数一样看待，从而获得了相当复杂的关系．用现在的公式表示这些关系，就是：

　　

　　根据这些关系式，他可以任意化简各种复杂的关系式．

　　在不定方程方面，印度学者取得了很大成就，他们建立了自己的独特方法．这种方法出现在婆罗摩笈多和婆什迦罗Ⅱ的著作中，即所谓的“扩散法”或“研细法”．

　　为解形如ax＋b＝cy (1)的方程，婆什迦罗首先说明如何求两个数的最大公因数．并指出，如果自由项b不能被未知量系数的最大公因数整除，那么方程无解．婆什迦罗解方程(1)的方法本质上与现代借助于连分数的方法没有区别．我们用现代的符号简要说明之．

　　

　　

　　通常把这个连分数缩写为

　　[q0，q1，q2，…，qn-1，qn]． 

　　x＝(-1)nbQn-1＋Qnt，

　　y=(－1)nbPn-1＋Pnt．

　　连分数中的qk是在求a与c的最大公约数的过程中得到的，即运用欧几里得辗转相除法

　　a=cq0+c1，

　　c=c1q1＋c2，

　　……

　　cn-2=cn-1qn-1+cn，

　　cn-1=cnqn．

　　此处cn=(a，c)，如果cn＝1，则(a，c)＝1．

　　考虑婆什迦罗Ⅱ的一个例子

　　60x+16=13y(n为奇数)．

　　

　　于是 x=-80＋13t，y=-368＋60t．

　　当t＝7时得到方程的最小正整数解

　　x=11， y=52．

　　婆什迎罗Ⅱ的计算简写为

　　1·16＋0＝16，

　　1·16＋16＝32，

　　1·32+16＝48，

　　1·48＋32＝80，

　　4·80+48＝368．

　　用13减80得x＝－67，y＝60－368＝－308．然后他把6·13加在-67上，得x=11，把6·60加在-308上，得 y＝52．

　　在婆什迦罗Ⅱ的著作中还有一个不定方程问题与中国古代《张邱建算经》中的“百鸡问题”相类似，称为“百禽问题”，相当于下列方程组

　　

　　这类问题可能是从中国传入印度的．

　　印度学者在不定方程方面的重要贡献是解整系数方程

　　y2＝ax2＋b (2)

　　及其特殊情形

　　y2＝ax2+1． (3)

　　这类方程最早出现在古希腊的著作中．例如方程

　　y2＝2x2＋1

　　

　　婆罗摩笈多和婆什迦罗Ⅱ研究了方程(2)和(3)．他们证明：如果从方程的一个解x，y出发(xy≠0)，可以求出无穷多个解来．方程(3)后来又由费马、欧拉和拉格朗日研究，1769年，拉格朗日建立了解方程(3)的完整理论．

　　从阿耶波多Ⅰ开始，算术级数的求和法就引起了印度数学家的兴趣．他们采用特殊的术语并计算了许多级数的和．

　　阿耶波多Ⅰ精通算术级数的各种性质，他知道中项、通项和求和公式．他还引进了三角形数、平方数和立方数的求和公式．马哈维拉推广了阿耶波多Ⅰ的结果，得到了算术级数各项平方、立方，以及以算术级数和为通项的级数求和公式．例如，当级数的首项为a1，公差为d时，马哈维拉得出公式

　　

　　和法，相当于下列公式

 

　　大约在同一时期，在中国也得到类似结果．

　　据记载，早在公元前2世纪，印度人就知道了组合数的求法以及公式

　　婆什迦罗Ⅱ还建立了允许重复的排列数和组合数的计算方法．在《丽罗娃提》中有—个有趣的排列问题：“湿婆神的十只手拿着十件东西：绳子、钩子、蛇、鼓、头盖骨、三叉戟、床架、匕首、箭、弓．如果将这些东西交换，共有多少种不同的方式？正象哈利神四只手交换拿着的狼牙棒、铁饼、莲和贝壳一样．”婆什迦罗Ⅱ也许想使他的学生对这个庞大的数目(101=3，628，800)大吃一惊！

　　排列组合问题的研究可能与印度人见长于诗歌有关，为求出n个诗步中长短音的配置方法而出现了组合学．