解放军文职招聘考试几何学

  几何学

　　印度学者在几何学方面的贡献明显地逊色于他们在算术和代数方面的成就．在很多情形下，他们的几何知识并不比亚历山大几何学家有多少进步．例如，婆罗摩笈多与亚历山大的塞翁(Theon of Alexandria)的著作中的几何部分就有许多相似之处．

　　婆罗摩笈多著作中的几何部分有这样的特点：在某些计算问题中，除给出精确的公式(当然有些问题得不到精确公式)外，还给出在实际中便于应用的近似法则．例如，已知各边求四边形面积，他给出的近似公式为

　　

　　其中a，c和b，d为两组对边．又如，对上下底均为正方形的棱台的体积，他为计算人员提供了公式

　　

　　此处a1，a2为上、下底正方形之边长，h为梭台的高．他还利用过巴比伦已知的公式

　　

　　而棱台体积的精确公式则由上述两式复合而成

　　　　

　　关于圆的面积，婆罗摩笈多给出两个法则：粗糙计算时取π＝3， 　 　　　　　　　　　　　　　　 

果，指出他计算了圆内接正6，12，24，48，96，192，384边形的边长，从而得到π的值．

　　为计算三角形的面积，除了通常的方法外，婆罗摩笈多导出了所谓海伦公式，并把这个公式推广到圆内接四边形的面积

　　　　 

　　其中p为四边形的周长之半，a，b，c，d为四个边．可惜他没有给出公式的证明．对于圆内接四边形，婆罗摩笈多还建立了与托勒密定理有关的命题：设对角线为x，y，则有

　　

　　他对两对角线相互垂直的圆内接四边形和等腰梯形特别感兴趣，得到了有关的结果．

　　印度学者研究了直角三角形的性质．婆罗摩笈多计算并证明了下列一组有理数可以组成直角三角形的三个边：

　　

　　两个世纪以后，马哈维拉用类似的方法求出三组整数

　　　　

　　并用这些毕达哥拉斯数来构造圆内接四边形(图5．9)

 

　　婆什迦罗Ⅱ应用代数知识解直角三角形，表现出一定的技巧．例如他曾解决这样一个问题：已知周长和面积求直角三角形的三边．如用现代符号表示，相当于假设

　　xy＝p， (1)

　　x＋y＋z=q． (2)

　　由此可得

　　(x＋y)2－(x2+y2)=2p，

　　(x＋y+z)(x＋y－z)＝2p．

　　于是有

　　　　

　　由(2)，(3)联立得

　　 

　　和

　　

　　进一步可求出

　　

　　再由(4)及(5)可以确定x和y．

　　在另一个问题中，已知xyz=p，x＋y＋z＝q，求x，y，z．婆什迦罗Ⅱ也是先求出z来，然后求x和y．印度学者解直角三角形的方法与中国古代算书的方法有些相似之处．

　　在印度的几何学中很少见到命题的证明，偶尔见到的证明也十分简短，多数情形是把证明压缩为图形和指示语“请看！”有时在图形旁边略加说明．例如毕达哥拉斯定理的证时由 图5·10给出，而关于三角形面积的定理由图5·11说明，图中矩形的高等于三角形高的一半，并加上指示语“请看！”

 

　　迦涅挲类似地解释了圆面积的公式：圆面积等于边长分别为周长之半和半径的矩形的面积(图5．12)．他给出的图形具有古希腊数学家的原子论思想．婆什迦罗Ⅱ用类似的方法建立了球体积和表面积的公式，他把球看成由顶点在球心、底在球面的大量针形锥体所组成．

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　　印度几何著作的主要特点是结论的简要性和用仅有“请看！”字样的图形来代替证明．

　　一般说来，印度数学著作的书写以简单、格言式或诗歌形式著称，而命题或法则更加言简意赅．教学时则需详细讲解方能领会，具有“请看！”字样的图形作为直观上的注释为理解命题提供了方便．