解放军文职招聘考试三角学的开端

 三角学的开端

　　印度学者对三角学的研究晚于其它学科，但是他们所做的工作十分重要．

　　早期的三角学，是伴随着天文学而产生的．在希腊化国家中，由于天文学的发展，越来越多地利用三角关系作为辅助的计算工具．例如，托勒密的著作中曾论述制作日晷的原理，并保留有世界上最早的三角函数表，即从0°到90°每隔半度的弦表．

　　希腊的天文学影响了印度天文学的发展，这无疑也推动了三角学的进步．许多从希腊人那里继承的计算法则发生了系统的变化．首先是用正弦，即半弦代替全弦，它们之间的关系是chord 2α=2sinα．从形式上看，弧2α的弦等于弧α正弦的二倍，只差一个常数因子，似乎这种变换没有本质的区别．但事实上，由全弦向正弦的转化有深远的意义，因为这就自然而然地引进了与直角三角形的边与角有关的各种函数．

　　在《阿耶波提亚》和一些历数书中已经出现正弦、余弦和正矢函数(即半径与余弦之差，关系为versα＝1－cosα，现已不用)．阿耶

　　波多Ⅰ称正弦为j va，是猎人的弓弦的意思．后来传到阿拉伯国家，译为dsch ba．由于阿拉伯文书写中只保留辅音和长元音，这个词就写成dschaib，意为“胸膛”．12世纪，欧洲人译为拉丁文的“胸膛”(Sinus)，最后演变成Sine．

　　印度人称余弦为kotij va，即余角的正弦，或简写为koti．译为阿拉伯文为dschaib altamam．12世纪，由克雷莫那的杰拉德(Gerard of Cermona)译为拉丁文Sinus residui．15世纪的数学家开始使用Sinus complementi，即余角的正弦．1620年第一次出现缩写符号co·sinus表示余弦．

　　三角量之间第一个关系式是毕达哥拉斯定理的直接表达式

　　sin2α＋cos2α＝1．

　　其次是半角的正弦法则

　　

　　这些关系式在瓦哈拉米希拉的著作中就有很清楚的表述．12世纪的婆什迦罗还使用了两角和与差的正弦法则．当半径不等于1时，印度学者则用文字来描述这些命题．

　　在天文学中应用三角学自然要制造三角函数表．印度最早的正弦和正矢表出现在《太阳的知识》和《阿耶波提亚》中．在后一著作中列表给出了正弦和正矢从 3°45′(225′)开始，间隔225′的24个值．显然没有任何一个希腊的弦表是它的原型．下表列出了古印度三角函数表中开头和末尾各四个值，取自《阿耶波提亚》中．表中的二阶差分Δ2和正弦值精确到分的百分之一．阿耶波多Ⅰ把圆周分为360°，再把每1°分为60′，而直径和三角量的测量也用弧的单位来表示．如表中所见，印度人采用半径等于3438′的圆进行计算．这个数字是由2πr=21600′当π＝3.1416时计算的结果．这个π值出现在《阿耶波提亚》中．

 

　　这个表的计算方法，在《阿耶波提亚》中没有记载．据科学史家推测，阿耶波多可能首先计算出30°，60°和45°的正弦值，如sin30°等于圆内接正六边形边长之半，即sin30°=1719′．

　　由此可得

 

　　然后应用半角的正弦法则和平方根的计算求出22°30′，11°15′，15°，7°30′，3°45′的正弦值．对于3°45′即225′，印度人认为当弧长足够小时，其正弦值应等于弧长，他们取sin3°45′＝225′．

　　在《太阳的知识》中，给出了从sin225′开始利用差分方法制造的同样函数表的法则．而瓦拉哈米希拉则与亚历山大的数学家相同，他所造的正弦表取直径为120．12世纪的婆什迦罗重新使用半径3438，他用两角的和与差的正弦公式制造了一个每隔10°的正弦表，他取sin60′＝60′．求出

　　他利用的公式为

　　 

　　即两角和与差的正弦公式．婆什迦罗造的表比阿耶波多的精确得多．

　　

　　婆什迦罗Ⅱ在《丽罗娃提》的第四部分中导出了根据圆周长c、弧长s和直径d计算弦l的公式

　　　

　　当n=3、4时，上式计算出的弦长l可精确到百分之一，而当n＝6时可得到准确值．

　　在印度的数学文献中，没有建立解三角形的一般法则．在《太阳的知识》中，隐含着某些球面三角学的定理．例如，通过不太复杂的变换可以把其中的法则化为直角三角形的正弦定理和一般的余弦定理．但是作者并没有把这些法则视作三角形诸元素之间的普遍关系．在《丽罗娃提》的第九章“论日晷的测量”中，利用日晷影长和相似三角形的定理测量物体的高度和距离．但是印度学者没能由此引出正切和余切概念---这是由9世纪上半叶伊斯兰国家的学者完成的．

　　在中世纪，政治动乱抑制了数学的发展．然而，西南部的喀拉拉(Kerala)地区在某种程度上能置身于政治动乱之外，因而在15---17世纪之间仍能取得突出的成就．这一时期最著名的学者是尼拉坎塔，他以对《阿耶波提亚》的重要评注而著称．1501---1502年间，尼拉坎塔著有《科学文集》，书中研究出一整套包含在微积分和级数论萌芽中的方法．

　　尼拉坎塔和东方的某些学者一样，确信圆周长与直径之比是无理数．他在对《阿耶波提亚》的注释中说“如果直径用某个单位来测量，那么周长就不能准确地用这个单位来测量；而如果对某个单位而言，周长能够测量时，直径就不能准确测量．”为了更准确地计算π的值，在《科学文集》中，他采用了相当于公式

　　　　

　　的法则．由此可以得到(当r＝1时)

　　

　　和

　　

　　在此基础上，他计算出

　　  

　　10位准确数字．这是计算数学的卓越成就，虽然在15世纪初阿拉伯学者卡西已经得到更精确的近似值．尼拉坎塔的贡献在于他摆脱了初等数学的束缚，他的方法比他的结果更重要．

　　在此基础上利用无穷小分析的思想，尼拉坎特纳还得到了反正切级数的展开式：

 

　　遗憾的是，这些数学思想不仅在印度本国没有得到发展，而且也没能及时传播到其它国家去．但是，印度学者的其它贡献---十进位值制记数系统，一系列代数和数论方法，三角学的开端，从13世纪末开始传到阿拉伯国家，并对后世东西方科学的进步产生了强有力的影响．