解放军文职招聘考试代数学

 代数学

　　公元820年，花拉子米写了一本《代数学》．它的阿拉伯文书名是《ilm al-jabr wa’lmuqabalah》．比较流行的一种说法认为现在西文中代数学一词algebra由此书名中的al－jabr脱胎而来．al－jabr原意是“还原”，根据上下文的意思，是指把负项移到方程另一端变成正项，方程才能平衡．muqabalah意即“化简”或“对消”，是指方程两端可以消去相同的项或合并同类项．书名直译应为《还原与对消的科学》．al－jabr译成拉丁文是algebra，而muqabalah被省略了，algebra则逐渐成为代数学这门科学的名称．这一名称的起源完全符合代数学本身的特点．代数的基础就是脱离具体数字以一般的形式来考虑算术运算，它的课题首先是提出解方程的变形规则．花拉子米正是以某种变形规则的名称来为自己的书命名，从而体现了代数学的真髓．

　　《代数学》用十分简单的例题讲述了解方程的一般原理．它的条理清楚、通俗易懂．正象花拉子米在序言中所说：“在这本小小的著作里，我所选取的材料是数学中最容易和最有用途的．是人们在处理下列事物中经常需要的：在继承遗产、分配财产、审理案件、商品交易，以及丈量土地、挖掘沟渠等各种场合中，……”《代数学》由三部分组成：第一部分讲述现代意义下的初等代数，第二部分论及各种实用算术问题，最后一部分(也是最大的一部分)列举了大量的关于继承遗产的各种问题．

　　在第一部分里，花拉子米系统地论述了六种类型的一次和二次方程的解法．这些方程由下列三种量构成：根、平方、数．根相当于现在的未知数x，平方就是x2，数是常数项．《代数学》完全用文字叙述，没有出现任何字母和缩写符号．为了表达方便起见，我们同时用现代的符号来表示这六种方程：

　　1．平方等于根 ax2=bx

　　2．平方等于数 ax2＝c

　　3．根等于数 ax=c

　　4．平方和根等于数 ax2＋bx=c

　　5．平方和数等于根 ax2＋c＝bx

　　6．根和数等于平方 bx＋c＝ax2

　　《代数学》的前六章，依次讨论了上述六种类型方程的解法．例如，第四章有这样一个问题：“一个平方数及其根的十倍等于三十九”．此问题即方程

　　x2＋10x＝39．

　　花拉子米把求解过程叙述为：“取根数目之半，在这里就是五，然后将它自乘得二十五，同三十九相加得六十四，开平方得八，再减去根数的一半，即五，余三．这就是根．”用现代的符号表示这一过程，即

　　 　　

　　对于一般方程x2＋px＝q，上述结果相当于给出求根公式

　　

　　在第五章，花拉子米求出了方程x2+21＝10x的两个正根，相当于

的结果小于自由项时，开平方是不可能的，此时方程无根．这相当于指出我们现在称之为判别式的必须非负．

　　以上六种类型包括了具有正根的一次、二次方程的所有可能情形．作者的讲解是如此地详尽和系统，使读者很容易掌握其解法．在这种意义上，花拉子米后来被冠以“代数学之父”的称号．

　　从第七章开始，花拉子米转向方程的根的几何证明．

　　例如，对于方程x2＋10x＝39，花拉子米给出了两种不同的几何证明．

　　第一种证法是在边长为x的正方形的四个边上向外作边长为x和

形，然后把图形补充为边长为(x＋5)的大正方形(图6．3)．在两种方法中，花拉子米都利用已知方程x2＋10x＝39求出大正方形的面积为64，然后开方，再求出x来．

 

　　花拉子米的几何证明明显地受希腊几何学的影响，许多证明都可以在欧几里得《几何原本》的第Ⅱ篇中找到原型．

　　花拉子米之后，埃及学者艾布卡米尔(Abū Kāmil，约850—约930)首先继承了他的代数学并使之发扬光大．关于艾布卡米尔的生平，现在知道得很少．据有关传记材料记载，艾布卡米尔是伊斯兰文化全盛时期(9世纪中至11世纪)著名的数学家．他在算术、代数和实用几何方面都有很大贡献．

　　艾布卡米尔的一些数学手稿和译文已经保存下来，其中最重要的一部论著是大约写于公元900年的《代数书》(Kitab fi al-jabr wa’l－muqabala)．《代数书》问世后，在很长时间内被广泛利用，在传入西方各国之后产生很大影响，因此在数学史界被认为是艾布卡米尔硕果仅存的著作．

　　《代数书》主要讨论二次方程．艾布卡米尔继承了花拉子米关于二次方程的理论，并使之得到进一步的发展．书中有大量题目出自花拉子米的《代数学》．此外，艾布卡米尔还用相当大的篇幅研究那些不同类型的方程并给出多种解法．花拉子米的《代数学》中列举了40个问题，而艾布卡米尔的《代数书》中共有69个问题．

　　艾布卡米尔是第一个随意使用未知数的高次幂的伊斯兰数学家．在他的著作中，出现了直至x8的各次方幂(x7除外)．他称x3为“立方”，称x4为“平方平方”，称x5为“平方平方，根”，x6——“立方立方”，x8——“平方平方平方平方”．事实上，艾布卡米尔对这些方幂所采用的名称是按指数相加的原则施行的．

　　在《代数书》中，艾布卡米尔用大量篇幅阐述了代数运算法则．包括单项式、二项式及其它各种形式的代数运算．他还提出了求两个二次根式的和与差的一般运算法则：

 

　　有趣的是，这些公式又多次出现在后世数学家的著作中．例如，在11世纪阿拉伯数学家凯拉吉，印度12世纪数学家婆什迦罗(Bhaskara Ⅱ，1114—1185)，以及意大利著名数学家斐波那契(L．Fibonacci’约1170—约1240以后)的书中都出现了完全一样的公式．

　　艾布卡米尔不仅专门讨论了二次根式的运算法则，而且把这些结果运用到二次方程的理论中去．他所列举的方程，不仅根可以是无理数，而且方程的系数也可以是二次根式．他这样毫无顾忌地使用无理数，在花拉子米之后是绝无仅有的．正因为出现了无理数系数，而使解题过程十分复杂，艾布卡米尔也不得不放弃几何证明．《代数书》中，出现了许多十分高超的解题技巧和复杂的运算过程．

　　艾布卡米尔的代数著作在两个方面比花拉子米的《代数学》有明显的进步．一方面，理论水平有所提高．如前所述，艾布卡米尔不仅对各类方程的解法都指出其任意性，而且还十分注意用代数恒等式来化简方程，他还特别指出了代数恒等式的普遍意义．另一方面，艾布卡米尔的代数学更具有一般性．他引进了大量的繁琐的代数运算(也用文字叙述)，在具无理数系数的方程中，已放弃了几何解法，这无疑是一大进步．

　　艾布卡米尔的《代数书》问世后产生了重要的影响．传入欧洲后对宣传花拉子米的代数学起到很大作用．它的部分内容还被斐波那契收入其《实用几何》(Practica geometriae’1220)中，这是一部专门讨论代数在几何中的应用的著作．

　　继花拉子米、艾布卡米尔之后，另一个对代数学有重要贡献的是11世纪巴格达的学者凯拉吉(al－Karajī卒于1019—1029年间)．

　　凯拉吉以两部数学著作闻名于世．一本是《算术全书》(hisāb al－jummal)，其中有关代数学的章节可以认为是他写于1010年的内容极其丰富的代数著作的序篇．这部代数书的书名是．《发赫里》(ал-Фахри，al-Fakhr )．根据凯拉吉的自述，他在写这本书的过程中，忍受着苛政与暴力的干预，久久未能完成．后来遇到一位有远见的执政者——发赫里(Fakhr al-Mulk)，他是学术的庇护者．在他的支持下凯拉吉才写完了这本书．为了纪念这位恩主，就以他的名字来命名这本书．

　　《发赫里》包括卷头语和两大部分．在卷头语中，凯拉吉阐明了借助于已知量求未知量是代数学这门学科的宗旨．并指出，具有一般性的代数运算法则是求未知量的有力工具．这就进一步明确了解方程是代数学的基本课题．

　　11世纪，阿拉伯学者已经熟悉了丢番图的《算术》书．凯拉吉在《发赫里》中大量地引用《算术》书的内容，他不仅把先辈们关于二次方程的理论网罗殆尽，而且无论在理论还是应用方面都出现了一系列新内容．他引进的代数运算比艾布卡米尔的更丰富、更系统，他所选用的习题比花拉子米甚至丢番图的更多样化．

　　例如，凯拉吉给出了下面关于三次根式运算的关系式：

 

　　特别引人注意的是，凯拉吉系统地研究了含有三项式的由未知数的任意次幂及其平方所组成的方程，如

　　ax2n+bxn=c，

　　ax2n+c=bxn，

　　bxn+c=ax2n，

　　ax2n+m=bxn+m+cxn．

　　其中a，b，c都是正数．这类方程原则上都能化为二次方程，卡拉吉分别以4次、6次和7次方程为例说明求xn的方法．当然，零解他没有考虑在内．为了求出上述各方程的根，凯拉吉还给出了开任意n次方根的方法．

　　此外，凯拉吉还应用数学归纳法证明了下列求和公式

　　　

　　在凯拉吉的著作中，可以发现大量的来源于印度和希腊的材料，也有相当多的内容体现了伊斯兰各民族古老的文化传统．总之，《发赫里》一书由三种文化汇合而成，我们还很难估计出各种文化所占的比例．

　　作为方程学说的代数学，它的发展在波斯数学家奥马海亚姆的著作中达到了新的高度．他在自己的代数著作中，明确地把代数学定义为解方程的科学：“代数学是一门有技巧的科学，它的研究对象是纯粹的数(正有理数)和可度量的量(指几何上的各种量：线、面、体等)．虽然这些数和量是未知的，但可以通过已知的‘东西’来确定它们．精通这门科学在于掌握确定算术的和几何的未知量的方法．”奥马海亚姆的这种定义，直到十九世纪末都保持着它的意义．

　　在阿拉伯的代数学文献中，还有大量的不定方程问题．例如，艾布卡米尔就写过专门论述线性不定方程整数解的著作——《算术技术珍品》

　　有三种情形：唯一，无解，多组解．对每一种情形他都给出了具体的例子．

　　值得注意的是，艾布卡米尔所举的6个例子都以中国古代算书《张丘建算经》中“百鸡问题”的形式出现．印度9世纪的数学家也曾研究过“百鸡问题”，因此，人们猜测，“百鸡问题”是从中国经印度传入阿拉伯国家的．

　　《算术技术珍品》中第1个问题相当于下列方程组

　　 

　　艾布卡米尔求出了这个方程组的唯一解是x＝19，y=80，z=1．

　　第5题相当于方程组

　　 

　　正整数x要在y＝160时才得到，不符合第一个方程，因此问题无解．

　　第6题是艾布卡米尔关于不定方程的一个最杰出的代表作，相当于下列方程组

　　

　　消去v得

　　

　　或者

　　

　　艾布卡米尔构造了两列整数解．他首先取

　　y＝1，3，5，…；z＝3，6，9，…；u＝2，6，10，…

　　由问题的实际背景分析得知以上各未知量应满足

　　y≤59，z≤54， u≤50，

　　由此可得出1443组解．然后，又取

　　y＝2，4，6，…；z=3，6，9，…；u＝4，8，12，…

　　并根据题意有

　　y≤58，z≤51， u≤52，

　　从而又得出1233组解，此方程组总共有2676组解．

　　在凯拉吉的《发赫里》中，也出现了一些关于不定方程的问题，其大部分取材于丢番图的《算术》书．这些具有东方数学传统特点的题材是很引人入胜的．例如，有一个题目相当于下列方程组

 

　　它最初出现在丢番图的《算术》中，后来传到欧洲，在斐波那契的著作中再现．后者对某些系数作了一些变动．

　　《发赫里》中，还出现了形如y2＝ax2＋bx＋c的不定方程，凯拉吉对这种方程进行了一般的讨论．除了一次，二次的方程外，凯拉吉还讨论了高次不定方程．例如，对方程组

 

　　他设y=mx，z＝nx，则由原方程可得

　　m2-n2=a-b，

　　则问题转化为求两数m，n，使其平方之差等于已知数a－b．而这个问题他又专门进行了研究．

　　此外，凯拉吉还研究了方程x3+y3＝z2，x2－y2＝z3，x2·y3＝z2，x3＋10x2＝z2的整数解和x2-y3＝z2，x3＋y2=z3的分数解等等．

　　阿拉伯代数学也有很大的局限性．首先，阿拉伯人没有引进负数(艾布瓦法的著作中出现了唯一的例外)．为了避免负数，他们对方程进行了细致的分类．解方程过程中，放弃了负根和零根．其次，阿拉伯人没有使用字母或缩写符号，他们的代数著作完全用文字叙述．这两方面都比印度人倒退了一步．