解放军文职招聘考试三角学

  三角学

　　三角学在阿拉伯数学中占有重要地位．它的产生与发展和天 文学有密切关系．三角学的发展也推动了其它数学分支特别是各种近似计算方法的发展．

　　在阿拉伯人所掌握的科学遗产中，与三角学有关的著作有印度天文学名著《悉檀多》、托勒密的《天文集》(Almagest)和门纳劳斯(Menelaus of A1exandria，约100年)的《球面论》(Sphaerica)．这三种著名文献是阿拉伯三角学发展的基础．

　　亚历山大的天文学家只引进一个三角量——弧的弦．希腊人的弦表是以托勒密定理(等价于两角和的正弦定理)和半弧的弦之定理为基础的．门纳劳斯关于完全四边形的定理更适合于解球面三角形．印度人则以半弦代替全弦，引入了正弦线和正矢线，制造了正弦表．阿拉伯的数学家们在这些工作的基础上引进了新的三角量，揭示了这些三角量的性质及其关系，给出了球面三角形和平面三角形的全部解法，制造了一系列三角函数表．他们的三角计算水平达到了很高的精确度．三角学通过阿拉伯数学家的工作逐渐地从天文学中分划出来发展成为一门独立的学科．

　　土库曼学者哈巴士(Habash al－Hasib，约卒于870)与花拉子米是同时代人．他长期在巴格达智慧馆工作，是巴格达天文台的成员．他写了很多关于天文学的论文并编制了许多积尺(Zij，即天文表)：《小型阿什—沙赫积尺》，《大马士革积尺》，《马蒙积尺》，《论星盘的效用》，《论密切圆》，《论距离和物体》等．他还是一位出色的数学家．

　　哈巴士最早把正切和余切作为直角三角形两个直角边的比提出来．他利用日晷仪确定了正切和余切的值．当日晷垂直放置时(图6．4)，他取h＝1，则h的影长

　　t＝h·ctgα=ctgα．

 

　　类似地，当日晷水平放置时，取h=1，则其影长(图6． 5)

　　τ＝htgα=tgα．

　　他制造了当确定太阳高度的角α＝1°，2°，3°，…时两种影长的表，即正切表和余切表．哈巴士称余切为“直阴影”，称正切为“反阴影”．它们被译成拉丁文成为“umbra recta”和“umbra varsa”． 16世纪末，“直阴影”变成“余切”，“反阴影”变成“正切”．

　　哈巴士还计算出太阳高度α、偏差角δ和黄道倾斜角ε之间的关系sinα＝tgδ·ctgε．他还利用直角日晷制造了一个相差1°的余割表．

　　在三角学方面有重大贡献的巴塔尼(al－Battani，858—929)是两河流域巴坦地方的人．他是著名的天文学家，积40年实测的经验(878—918)，著《星的科学》(De Scientia Stel－larum)一书，定出较精密的黄赤交角及岁差的值，又测得地球远日点的运动．后来哥白尼《天体运行论》还多处引用巴塔尼的实测数值．

　　巴塔尼受印度人的影响，采用半弦代替托勒密的全弦．在运算和命题方面，他常采用代数方法，从三角线出发，他得到了下列关系：

　

　　他还发现了重要的球面三角余弦定理

　　cosa=cosb·cosc＋sinb·sinc·cosA．

　　巴塔尼研究了各种斜三角形的解法．他的基本方法是作出某一个边上的高之后，把问题转化为求直角三角形的解．他并不知道正弦定理和余弦定理，虽然他也研究出余弦定理的结果，但只是作为一个习题，没有认识到它的普遍意义．几百年之后，卡西给出了余弦定理的下述形式：

　　a2＝(b＋c cosA)2＋c2sin2A．

　　另一个三角学者是艾布瓦法．他的贡献在于把所有三角函数线都定义在同一个圆上．正切、余切作为圆的切线段被引入，这样他第一次把正切函数，余切函数作为独立的函数而不是正弦和余弦之比提出来．他还首次引进正割和余割，可惜这些新的函数没有引起当代人的注意．

　　艾布瓦法从亚历山大的赛翁(Theon，约390)所注释的托勒密《天文集》中得到某种启示，用一种插值法编制了每隔半度的正弦表，达到相当高的精确度．他使用的是下面这个只用正弦表示的两角差的公式：

　　

　　他在半径是60的圆中计算出sin30′=31′24″55″′54Ⅳ55Ⅴ(60进制)，化为小数是sin30′=0.0087265373，精确到10-8．艾布瓦法还编制了每隔10′的正弦表，以及正切表和余切表．

　　比鲁尼(al-Biruni， 973—1048)生于花拉子模城郊区比伦(Bīrūn)，卒于阿富汗的甘孜那(Ghazna)．他是伊斯兰最富于创造性的学者之一，对哲学、历史和自然科学的许多方面都有贡献，而以数学和天文学的成就最大．主要著作有《古代诸国年代表》(Chronology)、《马苏蒂天文典》(Al-Qānūnu’l-Mas’ūdī)和《占星学基础》等．他曾在哈利发马蒙二世所建立的科学院工作，后来长期旅居印度．他精通梵文并研究了十分丰富的印度数学和天文学资料，为沟通印度文化和阿拉伯文化起过重要作用．

　　《马苏蒂天文典》是比鲁尼为他的保护人马苏蒂写的一部天文学百科全书，内容包括三角学、天文学、计时学和数理地理学．这部11卷集的著作在三角学发展史上十分重要．它的第3卷是三角学，由10章组成．第1章计算了圆内接正三角形，正方形，正五边、六边、八边和十边形的边长；第2章证明了与两角和、两角差、倍角和半角的正弦公式等价的弦的定理；第3章里，比鲁尼借助于三次方程和某种迭代过程作出了圆内接正九边形；第4章讨论更一般的三等分角问题，他利用内嵌物和类似的技巧给出了三等分角的12种方法；第5章计算了圆周率的值；第6章是一个正弦表；第7章叙述了这个表的使用法则；第8章研究了正切和余切函数，并给出一个正切表，说明了插值法，还证明了平面三角学的正弦定理；第9章和第10章讨论了球面三角学，特别证明了球面三角学的正弦定理．

　　独立于天文学而详尽地论述三角学的第一部著作是由土斯人纳西尔丁完成的．纳西尔丁(Nas r－Eddin，1201—1274)生于13世纪伊斯兰最大的文化中心霍拉桑(Khorasan)，是著名学者伊本·尤诺斯(Ibn Junos，？—1008)的学生．他是一个很全面的学者，著有三角、天文、几何、星盘等方面的著作．1259年，他在马拉盖(Maraghen)组织建造了一座巨大的天文台．在那里，纳西尔丁领导了一批杰出的科学家，收集了来自不同地区的珍贵数学手稿．他领导的天文台作了大量的实测工作，当时所编的《伊儿汗历》有很大影响．

　　纳西尔丁所著《论完全四边形》(Kashf al-qinā‘fī asrārshakl al－qītā‘)从根本上把三角学推进了一步，它使三角学开始脱离天文学而成为数学的独立分支．其第1卷论述比例理论．第2卷研究了平面完全四边形的有关问题．纳西尔丁详尽地讨论了所有各种样式的这类图形，以及关于它们的各种不同的证明．例如，他给出了完全四边形ABCDEF(图6．6)中比例式

　　

的六个证明．

 

　　第3卷叙述了平面圆上的三角函数之比．纳西尔丁定义了弧的正弦，还证明了有同一个端点的两个弧的正弦之比，等于联结两弧其它两端点的弦被过共同端点的直径所分成的线段之比，即对于弧AB和AC(图

　　

 　

　　借助于这个定理，就可以解决由两个弧的正弦和或差来求两个弧的问题．

　　《论完全四边形》的第4卷是关于球面完全四边形的理论．还证得了类似的关于比例的定理，与相应的平面定理的不同之处只在于：在球面上是用弧的正弦之比来代替线段之比．

　　第5卷，也是最后一卷，是关于按照边或角以及三角形的解法来对球面三角形进行分类的论述．对三角形的分类，纳西尔丁是按照它的角是锐角、直角或钝角，以及它的边是小于、等于或大于圆周的四分之一来进行的．同时，还确定了若按角来分类三角形属于何种类型，则若按边来进行分类时，它也属于相应的类型中，反之亦然．其后，纳西尔丁又引入了弧的余弦，弧的正切，弧的余切，弧的正矢和弧的余矢等概念．

　　关于球面三角形的解法，纳西尔丁证明了正弦和余弦定理．事实上，他的先驱者艾布瓦法和比鲁尼等早已作出了这些定理的证明，但纳西尔丁则是借助于完全四边形的定理给出了这些定理的极简单的证明．

　　纳西尔丁所叙述的球面三角形的一切解法，都可以归结成为两种情形：即按三个边或按三个角来求解非直角三角形．利用极三角形来求解球面三角形，在他之前还未曾有过，这正是纳西尔丁的主要贡献之一．

　　在三角学发展史上，《论完全四边形》具有特殊重要的地位．可惜欧洲人直到1450年左右才知道纳西尔丁的工作．数学史家苏特(H．Suter)曾感慨地说：“假如十五世纪欧洲的三角学者早知道他们(指阿拉伯人)的研究，不知还有没有插足的余地？”