北宋时期的数学成就
一、贾宪的增乘开方法
贾宪生活于11世纪，是天算家楚衍的学生．楚衍有两名弟子，一名朱吉，后任太史；另一名便是贾宪，在朝中任左班殿值．贾宪对《九章算术》深有研究，曾著《黄帝九章算经细草》，还著有《释锁》算书，均佚．但两书的部分内容，保存在杨辉《详解九章算法》中．
《详解九章算法·纂类》所载的贾宪增乘开方法，是中算史上第一个完整的、可推广到任意次方的开方程序(原载《黄帝九章算经细草》)．
例如“令有积一百八十六万八百六十七尺，问为立方几何？”此题相当于求方程x3>＝1860867的正根．按贾宪方法(参见图8．1)：(1)实上商置第一位得数．(2)以上商乘下法置廉，乘廉为方，除实讫．(3)复以上商乘下法入廉，乘廉入方，又乘下法入廉．(4)其方一、廉二、下三退．(5)再于第一位商数之次，复商第二位得数，以乘下法入廉，乘廉入方，命上商除实讫．(6)复以次商乘下法入廉，乘廉入方，又乘下法入廉．(7)其方一、廉二、下三退，如前．(8)上商第三位得数，乘下法入廉，乘廉入方，命上商除实适尽，得立方一面之数．
很明显，求得方根第一位后，求下面每一位的步骤都相同，(3)(4)(5)是求第二位的步骤，(6)(7)(8)是求第三位的步骤，依此类推．如果是开平方，则开方式无廉；如果是开四次方或四次双方以上，则在方和下法间加廉，称一廉、二廉……，开方步骤与开立方一致．
在增乘开方法基础上，贾宪创造了“开方作法本源图”(原载《释锁》，存于杨辉《详解九章算法》)即贾宪三角形(图8．2)，实际是世界上最早的二项式定理系数表．虽然该表到六次方止(末行为(a＋b)6的系数)，但表中数字是有规律的，每个数都是它肩上两数之和，可按此规律向下无限延伸(朱世杰便推广到八次方，即增加两行)．所以它是一般性的．
二、刘益的正负开方术
刘益是中山(今河北定县)人，生活年代可能比贾宪稍晚．著有《议古根源》，已失传．该书的部分内容保存在杨辉《田亩比类乘除捷法》里．从中可以看出，刘益把增乘开方法推广为正负开方术．贾宪的方程都是xn＝B的特殊形式(其中n不大于4，B为正有理数)，刘益则研究了一般的高次方程，如
-5x4＋52x3＋128x2＝4096．
在刘益的方程中，未知数系数可正可负，故曰“正负开方术”．例如要求方程
-5x2+228x＝2592
的正根，先摆算式如图8．3(1)，然后把方和隅向左移动，方每步移一位，隅每步移二位，本题只须各移一步．开方过程如p241图8．3(开方式下面为相应的演草)．刘益的正负开方术是可以推广到任意次方程的，所以说他的工作奠定了高次方程数值解法的基础．不过，刘益的思想也有局限性，他求解的方程的常数项仅限于正数，这一点同贾宪一样．这种限制，直到李冶时代才取消．
三、沈括的数学成就
沈括(1030---1094)，北宋科学家，字存中，号梦溪，钱塘(今杭州)人．进士及第后，初任馆阁校勘，后任太子中允，提举司天监．王安石变法期间，沈括曾任“权三司使”(主管财政)、“判军器监”等要职，时常出京察访各地的新政实施情况，积极参与变法运动．
沈括一生论著极多，据《宋史·艺文志》所录有22种155卷，流传至今的有5种64卷．其中《梦溪笔谈》(26卷)是沈括晚年定居镇江时，将一生见闻及研究心得以笔记形式写成的著作．书中的科学内容相当丰富，被著名科学史家李约瑟(J．Needham，1900---1995)誉为“中国科学史的里程碑”．沈括在讨论数学起源时说：“大凡物有定形，形有真数．方圆端斜，定形也；乘除相 ，无所附益，泯然冥会者，真数也．”这就是说，数学来源于客观存在的形和数，形是物体的特有形状而数是从形中抽象出来并能反映形的“真数”．那么，数是怎样被人认识的呢？沈括认为首先要靠实践：“予占天候景，以至验于仪象，考数下漏，凡十余年，方粗见真数．”但只有实践还不行，沈括说：“耳目能受而不能择，择之者心也．”意思是人们通过感官来接受客观世界的信息，但不能靠感官去辨别，必须依靠思维，才能由此及彼，由表及里，形成对数学的理性认识．这些看法是很精辟的．
沈括的主要数学成就有两项---会圆术和隙积术．
会圆术所解决的是由弦求弧问题．如图8．4，沈括得到以下公式
(1)式显然由勾股定理推出．至于(2)式，可能是在《九章算术》所载弓形面积公式的基础上，凭借以直代曲的极限思想得出的．沈括的会圆术问世后，收到明显的社会效益．著名的《授时历》中，使用此术解决了一个重要的天文问题——太阳的赤道坐标与黄道坐标的变换．所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的垛积，实际是二阶等差级数．设隙积共n层，上底由a×b个物体组成，以下各层的长、宽依次各增加一个物体，最下层(即下底)由c×d个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式如下：
沈括的工作开了研究高阶等差级数的先河．关于此式的由来，后人有各种推测，尚无定论．但有一点是肯定的：这一精确公式不可能从经验中归纳出来，一定是逻辑推理的结果．
四、从条段法到天元术
方程理论是宋元数学发展的主流．列方程的重要方法---天元术，便产生于北宋，而其渊源则为条段法．条段法亦称演段法，是推导方程的几何方法．刘益《议古根源》通过平面图形的分割拼补寻找等量关系，求得方程各项系数．因推演中常将各量表示成一段段条形面积，故名．北宋数学家蒋周亦用条段法推导方程．蒋周，平阳(今山西临汾)人，生活于11世纪．著有《益古集》，已失传，书中部分内容存于李冶《益古演段》．从书中题目来看，蒋周的方法比刘益更接近天元术，因为他懂得寻找含有所求量的等值多项式，然后把两个多项式连为方程．例如第33题(按《益古演段》顺序)：“今有圆田一段，中心有直池水占之，外计地七千三百步．只云并内池长阔，少田径五十五步，阔不及长三十五步．问三事(指池长、池阔、圆径)各多少？”(图8．5)令圆径为d，直池长a阔b，圆积S1，
3d2－4×7300＝4S． (1)
这便得到一个等于4S的多项式，下面再设法得到等于4S的另一多项式．因为d－55＝a＋b，所以
(d－55)2＝(a＋b)2=4ab＋(a-b)2＝4S＋352，
即 (d-55)2-352＝4S． (2)
把两个等于4S的多项式连起来，便得方程
3d2-4×7300＝(d-55)2-352．
(1)式和(2)式中的4S并非所求，蒋周只是通过它得到两个等值多项式，在建立方程时便把它们消掉了．这种思想是天元术中不可缺少的．
但条段法有着明显的局限性．首先，由于没有设未知数的步骤，不是把未知数用统一符号表示出来，再寻找它和已知量的关系，而是在解题过程中去找含有所求量的等式，这便增加了思维的复杂性．其次，条段法只能列出二次方程，因为高于二次的方程很难用面积来表示．数学的发展迫切需要一种简便的、能建立高次方程的一般方法，天元术便应运而生了．
天元术是一种列方程的代数方法，因称未知数为天元，故名．从现存古算书分析，洞渊无疑是天元术的先驱者之一．洞渊生活于11世纪，所著算书早已亡佚．但李冶《测圆海镜》中保存了洞渊九容公式，即九种求勾股容圆直径的方法．洞渊的天元术便以这些公式为出发点．《测圆海镜》保存了洞渊的两道算题，即卷十一第十七题和第十八题．这两题所得均为四次方程，不仅次数高于蒋周的方程，更重要的是有了“立天元一”(即设未知数x)的明确步骤．把各种各样的未知数用统一符号表示，让它像已知量一样参与运算，这是数学思想上的突破．
在第十七题中，洞渊得到
后，便把各项中x的幂提高两次，成为-4x4>-600x3>-22500x2+11681280x+788486400=0．
这说明他已懂得用分母中未知数的最高次幂去乘分式方程各项，从而化分式方程为整式方程．在洞渊的方程中，x的幂具有纯代数意义，而不再拘泥于它的几何解释．这正是天元术高于条段法之处，也是方程向高次发展的基础．
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