解放军文职招聘考试李冶

 李冶

一、李冶生平

　　李冶(1192—1279)，金元之际数学家．字仁卿，号敬斋，真定府栾城县(今河北栾城)人．

　　李冶生于大兴(今属北京)，父亲李遹为大兴府推官．李冶自幼天资明敏，喜爱读书，曾在元氏县(今河北元氏)求学，对文学、数学、经学都感兴趣．正大七年(1230)在洛阳考中词赋科进士，出任钧州(今河南禹县)知事，为官清廉、正直．开兴元年(1232)，因钧州城被蒙古军队攻破，李冶北渡黄河避难，定居于崞山(今山西崞县)之桐川．

　　李冶在桐川的生活十分艰苦，不仅居室狭小，且常不得温饱，要为衣食而奔波．但他却在这里进行着顽强的学术研究．正像他的学生焦养直所说“虽饥寒不能自存，亦不恤也”，在“流离顿挫”中“亦未尝一日废其业”．李冶的研究工作是多方面的，包括数学、文学、历史、天文、哲学、医学．他不仅博览群书，而且善于去粗取精，批判地接受前人知识．他说：“学有三，积之之多不若取之之精，取之之精不若得之之深．”李冶在实践中逐渐认识到：“数术虽居六艺之末，而施之人事，则最为切务．”于是潜心数学．他指出：“谓数为难穷，斯可；谓数为不可穷，斯不可．何则？彼其冥冥之中，固有昭昭者存．”他认为数来源于自然，所谓“昭昭者”，乃是数中的“自然之理”，“苟能推自然之理，以明自然之数，则虽远而乾端坤倪，幽而神情鬼状，未有不合者矣．”他在桐川得到洞渊算书，内有九容之说，专讲勾股容圆(即切圆)问题．于是，他便以洞渊九容为基础，讨论了在各种条件下用天元术求圆径的问题，于1248年写成《测圆海镜》十二卷，这是他一生中的最大成就．

　　1251年，李冶结束避难生活，回元氏县封龙山定居，并收徒讲学．1257年，他在开平(今内蒙古正蓝旗)接受忽必烈召见，提出一些开明的政治建议．1259年，李冶写成另一部数学著作《益古演段》．至元二年(1265)，李冶应忽必烈之聘，赴京(即中都，今北京)担任翰林学士知制诰同修国史官职，因感到在翰林院思想不自由，第二年辞职还乡．晚年又著《敬斋古今黈(音tǒu)》、《泛说》等书．至元十六年(1279)病逝于元氏．

二、《测圆海镜》

　　《测圆海镜》是现存最早的一部以天元术为主要内容的著作．天元术虽在北宋已经产生，但直到李冶之前还不成熟，记号混乱、复杂，演算烦琐，甚至不懂得用统一符号表示未知数的不同次幂．李冶致力于改进天元术，使之简便而实用．《测圆海镜》就是他长期研究天元术的成果．

　　《测圆海镜》卷一的圆城图式是全书出发点．该图以一个直角三角形及其内切圆为基础，通过若干互相平行或垂直的直线，构成16个直角三角形(图8．6)．书中题目都是已知某些三角形边长，求圆径．卷一的“识别杂记”阐明了各勾股形边长及其与圆径的关系，共600余条，每条可看作一个定理或公式，这部分内容是对中国古代勾股容圆问题的总结．卷二到十二为习题，共170题．全书基本上是一个演绎体系，卷一包含了解题所需的基本理论，后面各卷问题的解法均可在此基础上以天元术为工具推导出来．

 

　　李冶的天元术分为三步：首先“立天元一”，这相当于设未知数x；然后寻找两个等值的且至少有一个含天元的多项式(或分式)；最后把两个多项式(或分式)连为方程，通过相消，化成标准形式

　　anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0＝0．

　　李冶称方程式为天元式，在《测圆海镜》中采用由高次幂到低次幂上下排列的顺序，式中只标“元”或“太”一个字，元代表一次项，太代表常数项，负系数加一斜线，零系数标数码○．例如

　　-x2＋320x－132800＋13056000x-1＝0

　　和 -414x2＋478584＝0

　　分别写为图8．7和图8．8的形式．下面以卷四第六问为例，用现代符号表出李冶的解题过程．

 

　　已知：a3＝200，c11＝170．

　　求：D．

　　解：由识别杂记，得b15＝a3－c11=30．

　　设半径为x，则

　　b11=x＋b15＝x＋30，

　　a11＝a3-x＝200-x，

　　a1＝a3＋x＝200＋x．

　　因为△1∽△11，所以

　　 

　　所以 D2＝2b10×a11=6x2-340x＋12000．

　　又因为 D2＝(2x)2＝4x2，

　　所以 4x2=6x2-340x＋12000．

　　相消(相当于移项，合并同类项)，得

　　2x2-340x+12000＝0，

　　即 x2-170x＋6000＝0．

　　解方程，得

　　x＝120．

　　所以 D＝2×120＝240．

　　《测圆海镜》的理论成果是巨大的．宋代以前，方程理论一直受几何思维束缚，如常数项只能为正，因为常数项通常是表示面积、体积等几何量的；方程次数不高于三次，因为超过三次的方程就难于找到几何解释了．宋代天元术的产生，标志着方程理论有了独立于几何的倾向，李冶对天元术的总结，则使方程理论基本上摆脱了几何思维的束缚，实现了程序化．李冶认识到代数计算可以不依赖于几何，方程的二次项不一定表示面积，三次项也不一定表示体积．他在《测圆海镜》中改变了传统的把实(常数项)看作正数的观念，常数项可正可负．书中用天元术列出许多高次方程，包括三次、四次和六次方程．李冶还处理了分式方程，他是通过方程两边同乘一个整式的方法，化分式方程为整式方程的．当方程各项含有公因子xn(n为正整数)时，李冶便令次数最低的项为实，其他各项均降低这一次数．

　　在《测圆海镜》中，李冶采用了从零到九的完整数码，发明了负号和一套相当简明的小数记法．其负号是画在数字上的一条斜线，通常画在最后一位有效数字上，如-340写作 ．纯小数于个位处写○，带小数于个位数下写单位，如0.25记作 ，5.76记作 ．这样，李冶的方程便可用符号表示，从而改变了用文字描述方程的旧面貌．但仍缺少运算符号，尤其是没有等号．这样的代数，可称为半符号代数．大约300年后，类似的半符号代数也在欧洲产生．“天元一”虽是文字形式，但它是代表各种未知数的一般的、抽象的文字，在本质上也可看作符号．另外，李冶在圆城图式中以一般性文字代表三角形顶点，与西方用字母表示几何点的作法类似．

　　《测圆海镜》的成书标志着天元术成熟，不久以后，王恂、郭守敬(1231—1316)在编《授时历》时，便用天元术求周天弧度，沙克什则用天元术解决水利工程中的问题，都收到良好效果．元代数学家朱世杰曾说：“以天元演之，明源活法，省功数倍．”以《测圆海镜》为代表的天元术理论，对后世数学影响很大．李冶死后，天元术经二元术、三元术，迅速发展为四元术，成功地解决了四元高次方程组的建立和求解问题，达到宋元数学的顶峰．