解放军文职招聘考试大衍术

 大衍术

　　大衍术又称大衍法，实际是一套求解一次同余式组的完整程序．秦九韶很重视自己的这项发明，强调说：“独大衍法不载九章，未有能推之者．”

　　对于模数两两互素的同余式组，秦九韶首先推广了孙子的“物不知数”问题，形成下述定理(译为今文)：

　　设P1，P2，…，Pn互素，M＝P1·P2·…·Pn，则同余式组N≡ri(modPi)(i＝1，2，…，n)的解为

 

　　在上述定理的基础上，秦九韶给出同余式组解法程序：

　　3．求奇数Gi，“诸衍数，各满定母，去之．不满曰奇”．即用Pi

 

术，下面以《数书九章》卷一第三题为例，说明这种方法．

中的Ki(图8．9)．

　　(1)置G＝20于右上，Pi＝27于右下，1于左上．

　　(2)27除以20，商1余7，以商1乘左上的1，入左下．置余数于右下，替下原来的27．

　　(3)20除以7，商2余6，以商2乘左下的1，加入左上，置余数于右上．

　　(4)7除以6，商1余1，以商1乘左上的3，加入左下，置余数于右下．

　　(5)6除以1，商5余1，以商5乘左下的4，加入左上，置余数于右上，左上的23即为所求．

 

　　显然，这是一种辗转相除法，求到余数得1时，左上的数即为结果．但这个1必须在右上，若右下首先出现1，则须再作一步．大衍求一术中的“求一”，就是求到余数为1的意思．　　　　　　　　　　　 

　　6．求率数N，秦九韶说：“满衍母去之，不满为所求率数．”即比较∑与M的大小，若∑＜M，取∑为N；若∑＞M，则从∑中依次减去M，直到所得正数不满M为止，即

　　N＝∑－AM．

　　当然，N也可看作∑除以M所得余数．如果同余式组的模数非两两互素，秦九韶便用他创立的方法化其为两两互素①，然后再用上述程序求解．